Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Поскольку √2 = m/n, после возведения обеих частей этого уравнения в квадрат мы увидим, что 2 = m²/n², или, что то же самое, 2n² = m². Следовательно, m² – это четное число, а это значит, что само число m также четное. Число является четным, если его можно представить в виде произведения числа 2 на другое целое число, а значит, мы можем записать число m в виде 2k, где k – целое число. Это означает, что 2n² = (2k)² = 4k². Сократив обе стороны на 2, мы получим n² = 2k².

В чем смысл всех этих алгебраических преобразований? Просто показать, что n² равно двум k², а значит, это число четное. Но если n² четное число, тогда и само n должно быть четным, так же как и m. Но это означает, что утверждение F истинно. Выдвинув гипотезу H, мы пришли к ошибочному и даже абсурдному выводу, что утверждение F истинно и ложно одновременно. Следовательно, гипотеза H должна быть ошибочной. Квадратный корень из 2 – это не рациональное число. Предположив, что оно является таковым, мы доказали, что это не так. На самом деле довольно странный прием, но он работает.

Проверку значимости нулевой гипотезы можно представить как несколько размытую версию доказательства от противного:

• предположим, нулевая гипотеза Н истинна;

• из гипотезы Н вытекает, что некий результат О очень маловероятен (скажем, не превышает порог Фишера 0,05);

• однако результат О был установлен посредством наблюдений;

• следовательно, вероятность Н крайне мала.

Другими словами, мы имеем здесь не доказательство от противного, а доказательство от маловероятного.

Классический пример такого доказательства привел астроном и священник XVIII столетия Джон Митчелл, который одним из первых использовал статистический подход к изучению небесных тел^{115}. За скоплением тусклых звезд в одном углу созвездия Тельца наблюдала едва ли не каждая цивилизация. В племени навахо это скопление называют Dilyehe, «Сверкающая фигура», в племени маори – Matariki, «Глаз Бога». Для древних римлян это была гроздь винограда, у японцев это Subaru (если вдруг вам интересно, почему на логотипе компании изображено шесть звезд). Мы называем это звездное скопление Плеядами.

Столетия наблюдений и мифотворчества не смогли ответить на фундаментальный научный вопрос: действительно ли это звездное скопление является скоплением? Или эти шесть звезд разделены недоступными пониманию расстояниями и просто случайно расположены почти в одним и том же направлении от Земли? Точки света, в случайном порядке размещенные в нашем поле зрения, выглядят примерно так^{116}:

Вы видите здесь несколько групп, не так ли? Этого следовало ожидать: неизбежно формируются группы звезд, как будто почти взгромоздившихся друг на друга по воле случая. Как можно быть уверенными в том, что это не происходит с Плеядами? Это тот же феномен, на который обратили внимание Гилович, Валлон и Тверски: разыгрывающий игрок, который отличается высоким постоянством игры без взлетов и падений, время от времени все же делает по пять результативных бросков подряд.

На самом деле, если не было бы больших видимых скоплений звезд (как на представленном ниже рисунке), это само по себе свидетельствовало бы о том, что здесь действует некий неслучайный процесс. Второй рисунок может показаться невооруженному глазу более хаотичным, но на самом деле это не так: он показывает, что этим точкам присуща склонность избегать образования скоплений.

Следовательно, сам феномен существования наблюдаемых скоплений не должен убеждать нас в том, что рассматриваемые звезды действительно образуют группу в пространстве. С другой стороны, группа звезд на небе может быть настолько плотной, что отвергаются любые сомнения в случайности этого феномена. Митчелл показал, что, если видимые звезды были бы разбросаны в пространстве в случайном порядке, вероятность того, что шесть звезд образуют подобное Плеядам звездное скопление, предстающее перед нашим взором, крайне мала: около одного шанса на 500 тысяч, по расчетам самого Митчелла. Но вот они над нами – звезды, образующие гроздь винограда. Митчелл пришел к следующему умозаключению: только глупец может считать, что это произошло по воле случая.

Фишер одобрительно отзывался о работе Митчелла, совершенно ясно давая понять, что он видит в ней аналогию между аргументацией Митчелла и классическим доказательством от противного: «Сила, которая поддерживает данный вывод, – это, если рассуждать логически, простая дизъюнкция: либо имеет место крайне редкий случай, либо теория случайного распределения не соответствует действительности»^{117}.

Весьма убедительный аргумент, из которого сделан правильный вывод: Плеяды – на самом деле не оптическое совмещение, а реальное скопление звезд – нескольких сотен взрослых звезд, а не только те шесть, видимые невооруженным глазом. Тот факт, что мы видим много других очень плотных звездных скоплений, подобных Плеядам (намного более плотных, чем это было бы возможно, если бы они возникли по воле случая), – это веское доказательство в пользу того, что звезды расположены в пространстве не в случайном порядке, а скорее образуют группы под воздействием некоего реального физического феномена, существующего в свободном пространстве.

Но есть и плохая новость: доказательство от маловероятного, в отличие от его аристотелевского предшественника, в общем случае нельзя считать логически состоятельным. Это доказательство вовлекает нас в мир собственных логических противоречий. Джозеф Берксон, долгое время возглавлявший отделение медицинской статистики в клинике Maйo, открыто критиковал методику, которую считал ненадежной^{118}. Именно он предложил знаменитый пример, демонстрирующий подводные камни данного метода. Предположим, у вас есть группа из пятидесяти испытуемых, в отношении которых вы выдвигаете гипотезу (Н), что они – люди. Вы видите, что один из них альбинос (О). В принципе альбинизм – крайне редкое явление, встречающееся не более чем у одного из 20 тысяч людей. Таким образом, если исходить из того, что гипотеза Н верна, вероятность того, что вы обнаружите альбиноса среди пятидесяти испытуемых, достаточно мала, менее чем 1 из 400^[125], или 0,0025. Следовательно, p-значение (вероятность наблюдения О при условии Н) намного меньше 0,05.