Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Формализму свойственна строгая элегантность, представляющая интерес для таких людей, как Годфри Гарольд Харди, Антонин Скалиа и я сам, которые получают истинное удовольствие от красивой строгой теории, не допускающей никаких противоречий. Однако нелегко неизменно придерживаться принципов такого рода, да и не совсем понятно, целесообразно ли это. Даже судья Скалиа время от времени признавал, что, когда буква закона требует принятия абсурдных решений, от буквальных формулировок необходимо отказаться в пользу правдоподобного предположения по поводу того, что имел в виду Конгресс^{277}. Аналогичным образом ни один ученый не хочет быть строго ограниченным правилами статистической значимости, о каких бы принципах ни шла речь. Когда вы проводите два эксперимента, один из которых тестирует курс лечения, кажущийся теоретически многообещающим, а другой проверяет, демонстрирует ли дохлый лосось эмоциональную реакцию на показанные ему фотографии, и оба эксперимента дают успешный результат с р-значением 0,03, на самом деле вам не следует одинаково обращаться с этими двумя гипотезами. Вы должны оценивать абсурдные выводы с повышенным скептицизмом, и к черту правила.

Величайшим сторонником формализма в математике был немецкий математик Давид Гильберт; его список двадцати трех проблем, представленный в Париже, на Международном конгрессе математиков в 1900 году, определил направление развития математики на большую часть ХХ столетия. Гильберт – математик, вызывающий такое глубокое почтение, что любая работа, имеющая хотя бы косвенное отношение к его проблемам, приобретает особый блеск даже сто лет спустя. Однажды я познакомился с историком немецкой культуры из Колумбуса (штат Огайо), который рассказал мне, что именно склонность Гильберта носить сандалии с носками объясняет тот факт, что этот стиль до сих пор достаточно популярен среди математиков. Я не нашел никаких свидетельств, что это действительно так, но мне нравится так считать, поскольку это позволяет составить правильное представление о масштабе его влияния.

Значительное количество проблем Гильберта было вскоре решено; другие проблемы, например под номером восемнадцать – о максимально плотной упаковке сфер, – были решены только недавно. Некоторые проблемы до сих пор остаются нерешенными, и многие математики активно пытаются найти их решение. В частности, за решение проблемы под номером восемь (доказательство гипотезы Римана) Фонд Клэя выплатит вознаграждение в размере одного миллион долларов. Минимум в одном случае великий Гильберт ошибся. В проблеме под номером десять он предложил найти алгоритм, позволявший взять любое уравнение и определить, есть ли у него решение, при котором все переменные принимают целочисленные значения, но в 1960–1970-е годы математики Мартин Дэвис, Юрий Матиясевич, Хилари Патнэм и Джулия Робинсон опубликовали ряд работ, в которых было доказано, что такого алгоритма не существует. (Специалисты по теории чисел вздохнули с облегчением: было бы немного досадно, если оказалось бы, что некий формальный алгоритм способен автоматически решать задачи, на которые мы тратим столько лет.)

От всех остальных проблем Гильберта отличалась проблема под номером два. В ней был сформулирован не столько математический вопрос, сколько вопрос об отношении к самой математике. Свое описание этой задачи Гильберт начал с безоговорочной поддержки формалистского подхода к математике: