Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

hmhhhmhmmhhhhmmh

В таком случае его последовательности были бы такими:

hmhh, hmhm, mhhh, hmmh…

Затем Гилович, Валлон и Тверски подсчитали, сколько таких последовательностей были «хорошими» (3 или 4 попадания), «средними» (2 попадания) или «плохими» (0 или 1 попадание). Затем, будучи истинными последователями Фишера, они проанализировали результаты нулевой гипотезы, которая гласит, что такой вещи, как «счастливая рука», нет.

Существует шестнадцать возможных последовательностей из четырех бросков: первый бросок может завершиться либо попаданием (H), либо промахом (М), и по каждому из этих вариантов есть две возможности для второго броска, что дает нам всего четыре варианта для первых двух бросков (вот эти варианты: HH, HM, MH, MM). По каждому из этих вариантов есть две возможности для третьего броска, что дает восемь возможных последовательностей из трех бросков, а еще одно удвоение с учетом последнего броска в последовательности дает 16 вариантов. Ниже перечислены все эти варианты, разделенные на группы хороших, средних и плохих последовательностей.

Хорошие: hhhh, mhhh, hmhh, hhmh, hhhm

Средние: hhmm, hmhm, hmmh, mhhm, mhmh, mmhh

Плохие: hmmm, mhmm, mmhm, mmmh, mmmm

В случае игрока с показателем реализации бросков 50 %, такого как Доктор Джей, все 16 возможных последовательностей должны быть в равной степени вероятными, поскольку каждый бросок с равной вероятностью может завершиться попаданием или промахом. Следовательно, вероятность того, что в случае Доктора Джея последовательности из четырех бросков окажутся хорошими, составляет 5/16, или 31,25 %, средними – 37,5 %, плохими – 31,25 %.

Но, если у Доктора Джея порой наступают периоды высокой результативности, можно было бы ожидать большей доли хороших последовательностей с учетом результатом тех матчей, во время которых он как будто просто не в состоянии промахнуться. Чем больше игрок предрасположен к серии результативных бросков или серии промахов, тем больше у него будет последовательностей hhhh или mmmm соответственно и тем меньше последовательностей hmhm.

Проверка статистической значимости позволяет найти ответ на следующий вопрос: если нулевая гипотеза была бы правильной, а значит, «счастливой руки» не существует, насколько маловероятно было бы увидеть те результаты, которые получены в действительности? Оказывается, ответ такой: ничего маловероятного не обнаружено. Доля хороших, средних и плохих последовательностей в фактических данных примерно та же, что и в случае прогнозируемых, причем любое отклонение существенно меньше статистически значимого значения.

«Тот факт, что эти результаты вызывают удивление, – пишут Гилович, Валлон и Тверски, – объясняется устойчивостью ошибочной уверенности опытных и знающих экспертов в существовании феномена “счастливой руки”». И действительно, психологи и экономисты сразу приняли выводы Гиловича, Валлона и Тверски как нечто само собой разумеющееся, тогда как в мире баскетбола они приживались с трудом. Но это совсем не беспокоило Тверски, который получал удовольствие от хорошей схватки, каким бы ни был ее результат: «Я тысячу раз вступал в спор по этому поводу. В каждом из них я одерживал победу, но при этом никого не убедил».

Однако Гилович, Валлон и Тверски, как в свое время и Скиннер, ответили только на половину вопроса, а именно: что если нулевая гипотеза истинна и «счастливой руки» не существует? В таком случае, как они и показали, результаты будут во многом напоминать показатели, отмеченные в реальных данных.

Но что если нулевая гипотеза ошибочна? Даже если феномен повышения вероятности успешных бросков существует, он носит кратковременный характер, а его воздействие в сугубо численном выражении представляет собой малую величину. Худший бомбардир лиги реализует 40 % бросков, тогда как лучший – 60 %; это большая разница с точки зрения баскетбола, но не слишком большая в статистическом смысле. Как выглядела бы последовательность бросков, если «счастливая рука» действительно существовала бы?

Специалисты в области компьютерных наук Кевин Корб и Майкл Стиллвелл представили на Международной конференции по когнитивным наукам (2003) доклад на эту тему^{109}. Они выполнили компьютерное моделирование феномена «счастливой руки», в ходе которого процент реализованных бросков условных игроков возрастал до 90 % на протяжении двух «счастливых» интервалов по десять бросков. В случае более чем трех четвертей таких имитаций проверка значимости, которую использовали Гилович, Валлон и Тверски, показала отсутствие оснований для опровержения нулевой гипотезы – даже если нулевая гипотеза была абсолютно ошибочной. Исследование Гиловича, Валлона и Тверски оказалось недостаточно мощным, а значит, неизбежно должно было показать невозможность существования феномена «счастливой руки», даже если на самом деле этот феномен существует.

Если вас не устраивают результаты компьютерного моделирования, проанализируйте то, что происходит в действительности. Не все команды равны в плане предотвращения бросков противника в корзину. Во время сезона 2012/13 года цепкая, кусачая команда «Индиана Пэйсерс»^[122] позволила противникам сделать всего 42 % успешных бросков из общего количества попыток, а при игре с «Кливленд Кавальерс»^[123] мячи противников попали в корзину в 47,6 % бросков. Следовательно, у команд действительно бывают особенно удачные периоды, которые носят довольно предсказуемый характер: игроки с большей вероятностью попадают мячом в корзину, играя против «Всадников». Однако статистические тесты, которые использовали Гилович, Валлон и Тверски, недостаточно чувствительны для обнаружения этого феномена.

* * *

Правильный вопрос не сводится к следующему: «Бывает ли у баскетболистов временное повышение вероятности попаданий или промахов?» (это и есть вопрос, требующий ответа «да» или «нет», на который ориентирована проверка статистической значимости). Правильный вопрос звучит так: «Насколько способность игрока делать успешные броски меняется со временем и в какой степени наблюдатели могут в реальном времени определить, находится ли игрок в настолько хорошей форме, что сделает серию удачных бросков?» Безусловно, в данном случае ответ такой: «Не в такой степени, как многие считают, и вообще почти не меняется». В ходе недавнего исследования было установлено, что игроки, которые попадают в корзину в первом из двух штрафных бросков, с немного большей вероятностью успешно делают и следующий бросок, однако нет убедительных доказательств проявления феномена «счастливой руки» в ходе игры в реальном времени, если только не учитывать субъективные впечатления самих игроков и тренеров^{110}. Кратковременный характер феномена «счастливой руки», из-за которого так трудно опровергнуть его существование, делает не менее трудной и задачу его достоверного обнаружения. Гилович, Валлон и Тверски абсолютно правы в своем основном утверждении, что людям свойственна склонность видеть закономерности там, где их нет, а также переоценивать их силу там, где они действительно есть. Каждый, кто регулярно смотрит баскетбольные матчи, часто видит, как тот или иной игрок забрасывает в корзину пять мячей подряд. Безусловно, в большинстве случаев это результат сочетания таких факторов, как небрежная защита противника, мудрый выбор момента для броска или, что наиболее вероятно, обычная удача, а не внезапная активизация необыкновенных баскетбольных способностей. Это означает следующее: нет никаких оснований ожидать, что игрок, сделавший пять успешных бросков подряд, с большой вероятностью забросит мяч в корзину и в следующий раз. Анализ эффективности работы инвестиционных консультантов сопряжен с такими же трудностями. Существует ли такая вещь, как способности к инвестированию, или различия в эффективности инвестиционных фондов целиком и полностью обусловлены удачей – это вопрос, который остается мучительным, туманным и нерешенным уже много лет^{111}. Если даже есть инвесторы с временной или постоянной «счастливой рукой», их мало – настолько мало, что они не оставляют никакого следа в статистических данных, проанализированных Гиловичем, Валлоном и Тверски. Фонд, который на протяжении пяти лет подряд обеспечивает рентабельность инвестиций, превосходящую рыночные показатели, с гораздо большей вероятностью просто везучий, чем хороший. Высокие результаты за прошедший период не гарантируют рентабельность инвестиций в будущем. Если бы болельщики «Мичиган Вулверинс» рассчитывали на то, что Спайк Альбрехт обеспечит команде титул чемпиона, они были бы крайне разочарованы: во второй половине матча Альбрехт промахивался в каждом броске, а «Росомахи» проиграли с разрывом в 6 очков.