Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

На первый взгляд ограниченный промежуток между простыми числами может показаться чем-то удивительным. Если простые числа становятся все более отдаленными друг от друга, почему существует так много пар простых чисел, расположенных близко друг от друга? Может существует некая сила притяжения между простыми числами?

Ничего подобного. Если распределить простые числа в случайном порядке, велика вероятность, что некоторые пары чисел по воле случая окажутся рядом друг с другом – подобно тому, как точки, рассредоточенные на плоскости, образуют видимые скопления.

Нетрудно подсчитать, что, если простые числа вели бы себя подобно случайным числам, мы увидели бы именно такое поведение, какое продемонстрировал Чжан. Более того, можно было бы ожидать, что существует бесконечно большое количество пар простых чисел, отличающихся на 2, например таких пар, как 3 и 5 и 11 и 13. Это так называемые простые числа-близнецы, бесконечность количества которых остается гипотезой.

(Ниже приведены некоторые расчеты. Если они не представляют для вас интереса, можете пропустить их и перейти к абзацу, который начинается словами: Большое количество простых чисел-близнецов…)

Помните: теорема о распределении простых чисел гласит, что из первых N чисел N/log N чисел являются простыми. Если бы эти числа были распределены случайным образом, каждое число n могло бы быть простым с вероятностью 1/log N. Таким образом, вероятность того, что числа n и n + 2 оба являются простыми, равна (1/log N) × (1/log N) = (1/log N)². Так какого же количества пар простых чисел, отличающихся на 2, мы можем ожидать? В интересующей нас области существует N пар чисел (n, n + 2), причем каждое из них имеет вероятность быть простым числом-близнецом, равную (1/log N)², а значит, в данном интервале можно ожидать N/(log N)² простых чисел-близнецов.

Существуют некоторые отклонения от чистой случайности, с небольшим воздействием которых специалисты по теории чисел умеют обращаться. Главное то, что события «n – простое число» и «n + 2^[132] – простое число» не являются независимыми: если n – простое число, это увеличивает вероятность того, что n + 2 – также простое число, а это означает, что мы не совсем правильно используем произведение (1/log N) × (1/log N). (Обратите внимание: если n – простое число, большее 2, оно нечетное, а это значит, что n + 2 также является нечетным, что повышает вероятность того, что n + 2 – простое число.) Годфри Гарольд Харди, который говорил о «ненужных затруднениях», а также Джон Инденсор Литлвуд, в соавторстве с которым он написал большую часть своих работ, разработали более точный метод прогнозирования с учетом этой зависимости, согласно которому количество простых чисел-близнецов в действительности должно быть на 32 % больше, чем N/(log N)². Такая более точная аппроксимация позволяет предсказать, что количество простых чисел-близнецов, не превышающих квадриллион, должно составлять около 1,1 триллиона – достаточно близкое совпадение с реальной цифрой 1 177 209 242 304. Это много простых чисел-близнецов.

Большое количество простых чисел-близнецов – это и есть то, что ожидают обнаружить специалисты по теории чисел, какими большими ни были бы эти числа, причем не потому, что мы считаем, будто в простых числах скрыта некая глубинная сверхъестественная структура, а именно потому, что мы так не считаем. Мы исходим из того, что простые числа распределены совершенно случайным образом. Если гипотеза о распределении простых чисел была бы ошибочной, именно это было бы настоящим чудом, подразумевающим, что некая до сих пор неведомая сила отталкивает простые числа друг от друга.

Не хотелось бы слишком углубляться в эту тему, но именно так действуют многие знаменитые гипотезы в теории чисел. Гипотеза Гольдбаха, говорящая, что любое четное число больше 2 можно представить в вид суммы двух простых чисел – это еще одна гипотеза, которая была бы истинной только в случае, если простые числа вели бы себя как случайные величины. То же самое можно сказать по поводу гипотезы Бена Грина и Терри Тао, что последовательность простых чисел содержит арифметические прогрессии произвольной длины (за доказательство этой гипотезы в 2004 году Тао получил Филдсовскую премию).

Самой известной стала гипотеза, которую выдвинул в 1637 году Пьер Ферма. Она гласит, что уравнение

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ

не имеет решений в целых ненулевых числах A, B, C и n при n большем 2. (Когда n равно 2, это уравнение имеет множество решений, например 3² + 4² = 5².)

Все были убеждены в истинности гипотезы Ферма, точно так же, как сейчас мы убеждены в истинности гипотезы о простых числах-близнецах, но никто не мог доказать это^[133], пока в 1990-х годах этот прорыв не совершил математик из Принстонского университета Эндрю Уайлс. Мы были убеждены в этом, поскольку n-е степени целых чисел встречаются крайне редко, и поэтому вероятность обнаружения двух чисел, сумма n-х степеней которых равна n-й степени третьего числа, в случайном множестве столь редко встречающихся чисел близка к нулю. Более того: большинство специалистов убеждены в том, что не имеет решений и обобщенное уравнение Ферма

A^p + B^q = C^r

для достаточно больших значений степеней p, q и r. Банкир из Далласа по имени Эндрю Бил выплатит вам миллион долларов, если вы докажете, что это уравнение не имеет решений, если p, q и r больше 3, и если у чисел A, B и C нет общих простых делителей^[134]. Я абсолютно убежден в истинности этого утверждения, поскольку оно было бы верным, если совершенные степени встречались бы редко, однако я считаю, что нам предстоит узнать о числах нечто совершенно новое, прежде чем мы сможем найти способ доказать это. Мы с коллегами потратили пару лет на доказательство того, что обобщенное уравнение Ферма не имеет решений при p = 4, q = 2 и r большем 4. Только для этого одного частного случая нам пришлось разработать новые методы, которых явно недостаточно для полного решения этой задачи на миллион долларов.