Опционы. Разработка, оптимизация и тестирование торговых стратегий - Вадим Цудикман

Каждый портфель состоял из коротких стрэддлов для всех акций, входящих в состав указанного индекса. Страйк стрэддлов выбирался по принципу наименьшей удаленности от текущей цены БА. Объем позиции по каждому стрэддлу вычислялся как округленная до лотов (1 лот = 100 опционов) величина N = 10 000/U, где U – цена акции, являющейся БА для данного стрэддла. Бета каждой акции вычислялась по 120-дневной выборке доходностей акции и индекса. Дельты опционов Δ_i рассчитывались по модели Блэка – Шоулса; процентные индексные дельты D^%_Portfolio – по формуле (3.2.4). Кроме того, для каждого портфеля вычислялись следующие величины:

• Процентное изменение индекса I^% = 100 × (I_e – I_t)/I_t, где I_t – значение индекса на момент t создания портфеля, I_e – значение индекса на момент истечения опционов.

• Процентное изменение стоимости портфеля P^%_realized = 100 × (P_e − P_t)/P_t где P_t – рыночная стоимость портфеля на момент t создания портфеля, P_e – стоимость портфеля на момент истечения опционов (премии опционов брались в середине спреда цены спроса и предложения). Этот показатель выражает «реализовавшийся» риск портфеля.

• Ожидаемое процентное изменение стоимости портфеля P^%_expected = 100 × (I^%× D^%_Portfolio)/P_t. Этот показатель выражает оценку риска сложноструктурированного портфеля при условии, что индекс изменится на заданную величину (в данном исследовании – на величину реально произошедшего движения рынка).

• Разность реализовавшегося изменения стоимости портфеля и ожидаемого изменения стоимости портфеля Difference = P^%_realized – P^%_expected. Чем ближе к нулю этот показатель (то есть чем меньше абсолютное отклонение реализовавшегося изменения от ожидаемого), тем точнее индексная дельта позволяет прогнозировать будущие колебания стоимости портфеля.

На рис. 3.2.1 показаны средние отклонения реально произошедших изменений стоимости портфеля от ожидаемых значений. Для портфелей, созданных в период от 30 до 60 дней до экспирации, средняя разность оказалась близка к нулю. Однако этим же портфелям свойственна и наибольшая изменчивость разности (представленная на рис. 3.2.1 в виде стандартных ошибок). Обратная картина наблюдается для портфелей, созданных незадолго до экспирации (от двух до 20 дней). В этих случаях разности реализовавшегося и ожидаемого изменений стоимости портфеля велики и положительны, хотя достаточно стабильны (стандартные ошибки невелики).

Положительные значения разности говорят о том, что P^%_realized > P^%_expected (реализовавшиеся изменения стоимости портфеля больше, чем ожидалось). Это означает, что оценка риска с помощью индексной дельты для этих портфелей была заниженной, то есть риск оказался недооценен (поскольку убыток коротких портфелей возникает в тех случаях, когда их стоимость возрастает (P^%_realized > 0)). Соответственно, отрицательное значение разности означает, что реальные изменения стоимости портфеля оказались меньше, чем ожидалось (то есть риск был переоценен). Поскольку стандартные ошибки портфелей, созданных задолго до экспирации, далеко заходят как в отрицательную, так и в положительную область (рис. 3.2.1), можно заключить, что многие из них были переоценены и многие – недооценены.

В целом можно сделать вывод, что в момент создания портфеля чем больше срок до даты истечения опционов, тем более точно (в среднем) оценивается риск. Вместе с тем вероятность ошибочных оценок также возрастает. Для портфелей, создаваемых вблизи экспирации, оценка риска оказывается заниженной, однако величина занижения является достаточно стабильной (вероятность ошибки мала). В первом случае можно добиться повышения эффективности использования индексной дельты путем введения дополнительных показателей риска. Во втором случае, поскольку изменчивость результатов невелика, можно ограничиться введением поправочных коэффициентов.

Известно, что дельта является локальной величиной, оценивающей изменение стоимости опциона при небольшом изменении цены его базового актива. Это означает, что чем больше реально произошедшее изменение цены базового актива, тем менее точен прогноз изменения стоимости опциона, основанный на дельте. Исследуем, справедливо ли данное утверждение для индексной дельты и насколько ухудшается эффективность ее прогноза при больших изменениях индекса. Для этого рассмотрим зависимость разностей между реализовавшимися и ожидаемыми изменениями стоимости портфеля от процентного изменения индекса.

Из рис. 3.2.2 следует, что большие движения индекса действительно сопровождаются весьма серьезными отклонениями реальных изменений стоимости портфелей от прогнозных значений. Это наблюдение справедливо как для случаев роста индекса (белые точки на рис. 3.2.2), так и для случаев его падения (черные точки). Следует также отметить, что в тех случаях, когда индекс снижался, корреляция между разностью и изменением индекса была выше, чем когда индекс рос.

Для оценки эффективности индексной дельты наибольший интерес представляет тот факт, что большим движениям индекса (будь то рост или падение) соответствуют только положительные разности, в то время как малым – в основном отрицательные (рис. 3.2.2). Это говорит о том, что при больших движениях рынка индексная дельта недооценивает риск, а при малых – переоценивает. В тех же случаях, когда амплитуда колебаний рынка находится в пределах 3–5 % (в сторону роста или понижения), индексная дельта демонстрирует наибольшую эффективность.

В предыдущем исследовании мы ограничились случаями, когда риск оценивается только один раз – в момент создания портфеля. Эффективность этой оценки тестировалась также единожды – на дату истечения входящих в состав портфеля опционов (предполагается, что все опционы истекают одновременно). Теперь мы исследуем ситуации, когда риск оценивается регулярно в течение всего периода существования портфеля, а эффективность оценки тестируется на разных временных интервалах.

Мы будем оценивать эффективность индексной дельты так же, как в предыдущем исследовании (путем сравнения оценки риска, выраженного через индексную дельту, со значениями, реализовавшимися на практике). Чтобы проанализировать качество прогноза на разных этапах существования портфеля, следует (1) вычислять значения индексной дельты каждый день на протяжении всего инвестиционного периода и (2) оценивать изменения стоимости портфеля в течение разных периодов времени (будем называть их горизонтами тестирования или прогнозирования). Необходимо протестировать все периоды от первого дня до максимально возможного (49 дней в нашем исследовании). Эти данные позволят всесторонне оценить расхождения между прогнозами и реальностью.