Игра случая. Математика и мифология совпадения - Джозеф Мазур

Хотя исходы игр, которые определяются исключительно жребием, неопределенны, меру того, насколько человек ближе к выигрышу, чем к проигрышу, всегда можно установить. Таким образом, если человек ручается выбросить шестерку с первой попытки, нам на самом деле неизвестно, сможет ли он это сделать, но то, насколько более вероятен для него проигрыш, чем выигрыш, – вещь, вполне определенная и поддающаяся вычислению^{58}.

Гюйгенс дает пример азартной игры, где для участия необходимо платить. Человек прячет три монеты в одной руке, семь – в другой; вы выбираете руку и забираете спрятанные в ней монеты. Чтобы продолжать игру, вы должны платить. Но вот в чем вопрос: сколько вам следует платить за игру? Первое утверждение Гюйгенса дает нам ответ: «Если я могу ожидать либо события a, либо b и любое может выпасть мне с одинаковой легкостью, то можно сказать, что мое ожидание будет равняться (a + b)/2». Ответ – 5, иначе говоря, ожидаемая выгода (сумма, которую вы ожидаете получить взамен), или среднее 3 и 7. Совсем не очевидно, что Гюйгенс понимал, какую поразительную силу будет иметь эта идея для будущего анализа рисков, азартных игр и собственно науки. Но он точно понимал, что ядро теории вероятностей – это просто математическое ожидание. Для математика середины XVII в. было бы совершенно преждевременно узнать истину: что все случайные процессы в природе, включая аннуитет, страхование, метеорологию и медицину, а также азартные игры, можно в той или иной мере предсказывать с помощью вычисления математического ожидания. Вообще математическое ожидание можно вычислить, умножив вероятность на размер выплаты. В большинстве случаев это средневзвешенное значение всех возможных величин, которые могут возникать; в качестве весов берутся вероятности. Это сумма всех возможных значений, после того как каждое значение умножено на вероятность его возникновения. В этом есть смысл; в конце концов вы ожидали бы получить 50 центов с доллара, если бы бросали монетку и ставили бы каждый раз по доллару на орла.

Например, возьмем лотерею Texas Lotto. В табл. 5.1 показаны результаты совпадения 3, 4, 5 и 6 чисел. Чтобы получить математическое ожидание от игры, перемножим вероятность и размер выплаты по каждому возможному совпадению и сложим все возможные совпадения.

Если мы предположим, что джекпот равняется, скажем, $2 млн, тогда математическое ожидание составляет 0,000000038 ($2 000 000) + 0,00001115 ($2000) + 0,000654878 ($50) + 0,013157894 ($3) = $0,171517582. Другими словами, реальная стоимость каждого играющего билета – всего 17 центов.

На том раннем этапе истории теории вероятностей люди использовали математическое ожидание как меру риска, не зная, что оно окажется самым естественным показателем центра распределения – склонности данных группироваться вокруг некоего центрального значения, как показано на рис. 5.3.