Игра случая. Математика и мифология совпадения - Джозеф Мазур

Обозначим последовательностями из букв W и L серии выигрышей или проигрышей. Четырехкратный проигрыш будет обозначен через LLLL, а четырехкратный выигрыш – через WWWW. Есть лишь один способ выиграть все 4 раза и только один – не выиграть ни разу. А если выиграть 1 раз из 4? Есть 4 способа выиграть 1 раз из 4, а именно: WLLL, LWLL, LLWL и LLLW. И, конечно, способов проиграть только 1 раз из 4 также 4. Как насчет 2 выигрышей за 4 тура? Двухкратный выигрыш будет представлен 6 вариантами: WWLL, WLWL, WLLW, LWWL, LWLW и LLWW. При независимых событиях, где исход первого события не имеет памяти о других (например, туры при игре в рулетку или игра в орлянку), вероятности одного или другого из 2 событий – это произведение вероятностей каждого из них. Исходя из того, о чем мы говорили в главе 4, если A и B – это возможные исходы, вероятность наступления и A, и B – это произведение P (A) P (B), а вероятность наступления A или B – P (A) + P (B) – P (A) × P (B).

Теперь давайте возьмем случай с 2 выигрышами. Чтобы упростить запись, примем, что p означает P (W), а q – P (L). Вероятность 1 отдельного выигрыша – p, и, поскольку выигрыш и проигрыш в разных турах – события независимые (т. е. каждый тур не зависит от предыдущего), мы видим, что вероятность 2 выигрышей в 4 турах – это p²q²^[10]. Так происходит потому, что вам необходимо 2 раза выиграть и 2 раза проиграть, а когда логической связкой является «и», вероятности перемножают. Но, как мы выяснили, это может произойти 6 различными способами: WWLL, WLWL, WLLW, LWWL, LWLW и LLWW.

Поскольку логической связкой является «или», вероятность наступления любого из этих событий будет: ppqq + pqpq + pqqp + qppq + qpqp + qqpp, или просто 6p²q².

Рассмотрим четыре разные игры. В первой игре мы играем в рулетку и ставим на красное. Во второй мы подбрасываем монетку и ставим на выпадение орла. В третьей мы подбрасываем две игральные кости и выигрываем, если в сумме выпало 7, а во всех остальных случаях проигрываем. Наконец, в последней игре мы покупаем билет Texas Lotto и рассматриваем как выигрыш только джекпот. В таблице 7.1 приведены вероятности выиграть в каждой из этих игр (первый столбец). Мы также можем сыграть несколько раз. Допустим, мы играем четыре раза – тогда можем выиграть ноль, один, два, три или четыре раза. Вероятности соответствующих событий также приведены в таблице 7.1.

В теории и для рулетки, и для орлянки в соответствии с табл. 7.1 наиболее вероятен выигрыш в 2 турах из 4. Мы могли бы составить таблицу вероятностей для 100 туров рулетки и орлянки, однако это было бы ужасно долгим и непрактичным занятием. Вместо этого позвольте сказать только то, что в 100 турах орлянки игрок, ставящий на орла, с наибольшей вероятностью выиграет 50 раз, а в 100 турах рулетки, делая ставку на «красное», игрок с наибольшей вероятностью выиграет (как будет показано) только 37 раз^{65}. Священный Грааль игрока – знать, какие именно 37 раз.

Отметим симметричность, присущую рулетке и орлянке, асимметричность костей и предельную асимметричность лотерей. Как насчет строки для рулетки в табл. 7.1? На гистограмме, изображающей число туров, когда выпадает «красное», против вероятности наступления этого количества туров, где выигрывает «красное» (см. рис. 7.1A), около числа 2 есть некоторая асимметрия, а центр притяжения (геометрическая точка равновесия), видимо, немного меньше 2. Когда число туров увеличивается до 8, отклонение становится еще более явным (см. рис. 7.1B)^{66}.

Увеличение числа туров в рулетке приводит к сглаживанию графика. Для 100 туров у нас будет 101 прямоугольник с основанием в одно деление^{67}.

На рис. 7.2 изображено то, что называется частотным распределением. Высота прямоугольника над каждым из чисел означает то, как часто ожидается наступление отдельных событий. Столбцы распределяются по горизонтальной оси таким образом, что общая сумма их площадей равняется 1. Другими словами, площадь графика составляет 100 % всех возможных событий. Большая часть распределения частот концентрируется между 32 и 62, самый высокий столбец – 47. Меньше 32 и больше 62 вероятности настолько малы, что на графике их не видно. Например, P (31) = 0,00034, а P (63) = 0,0006. Весьма маловероятно, что «красное» выпадет 20 или 80 раз, однако, как все совпадения, не исключено.

В случае орлянки, где p равняется q, симметрия идеальна. Но p не обязательно равняется q. Мы обнаруживаем все более выраженную асимметрию по мере того, как увеличивается разрыв между p и q. В табл. 7.1 мы видим идеальную симметрию в 5-й колонке слева и почти никакой симметрии в 7-й колонке. И все же все вычисления основываются на 3-й колонке и производятся с помощью так называемого треугольника Паскаля – ключе к хранилищу инструментов теории вероятностей.

Треугольник Паскаля – это числа, расположенные в виде треугольника следующим образом:

Каждое число на рис. 7.3 – это сумма двух чисел, расположенных точно над ним в линии сверху: например, 3-е число (10) в 5-й линии сверху – это сумма 4 и 6 на 4-й линии. Сперва отметим симметричность, а затем обратим внимание на то, что числа те же, что мы видели, когда раскладывали по степеням сумму двух переменных p и q. Мы находим те же числа, когда раскладывали по степеням (p + q) n. Например, при n = 2 (p + q)² = (p + q) (p + q) = p (p + q) + q (p + q) = p² + pq + qp + q² = p² + 2p¹q¹ + q².