Игра случая. Математика и мифология совпадения - Джозеф Мазур

Математика вероятности – относительно новая область знания. Она зародилась примерно в XVI в. До начала XVI в. математика не занималась неопределенными проблемами. Натурфилософы и математики больше интересовались познанием серьезных вещей, которые для одних могли быть абстрактными понятиями теории чисел и геометрии, для других – более практичными и полезными делами: например, геодезия или другие строительные технологии (в частности, строительство соборов). Само математическое понятие случайного было впервые описано в «Книге об азартных играх» (Liber de Ludo Aleae) Джероламо Кардано – сборнике работ, содержащих основы понимания природы случайности и того, что мы сейчас называем вероятностью; книга была написана около 1563 г.^{37} Но «Книга об азартных играх» оставалась неизданной еще сто лет.

Джероламо Кардано был миланским врачом, математиком и игроком. Наибольшую известность ему принесла его книга «Великое искусство» (Ars Magna), опубликованная в 1545 г. В ней изложено все, что было известно на тот момент о теории алгебраических уравнений. «Книга об азартных играх» – это 15 страниц бессвязных математических и философских заметок. Кардано не собирался ее публиковать. Но в книге мы находим полезные инструменты для изучения частотности совпадений. Она считается краеугольным камнем теории вероятности, расчетных величин, средних величин, таблиц распределения, свойств сложения вероятностей и различных способов вычисления k успешных испытаний из N – общего числа испытаний. В ней даже содержалось предположение о существовании математического закона, который позже станет известен как слабый закон больших чисел. В общих чертах закон говорит о том, что разность между наблюдаемой вероятностью (которая совершенно не известна до момента наступления событий) и математически вычисленным средним значением p может оказаться сколь угодно малой при условии, что число испытаний N достаточно велико.

В строгом выражении он выглядит как загадочная скороговорка: вероятность P, что средний коэффициент успешности испытаний отличается от p, сколь угодно близка к нулю, при условии что N может быть сколь угодно большим для выполнения данного условия. В современной записи, где ε представляет любое выбранное малое число, сходится к 1 по мере того, как растет N.^{38} Для тех читателей, которые подскочили, увидев этот набор символов, позвольте пояснить. Мы используем запись, разработанную для того, чтобы говорить о вероятности события, описанного в квадратных скобках. Например, P [на следующее 4 июля Центральный парк накроет ураган] обозначает вероятность того, что ураган накроет Центральный парк на следующее 4 июля. Таким образом, обозначает вероятность того, что разность между отношением k/N и p, взятая по модулю, будет меньше, чем любое выбранное малое число ε.

Это принцип, которому следуют средние величины в долгосрочной перспективе. Уместно спросить: как могут случайные события (без какой-либо памяти о каждом отдельном исходе) иметь среднее значение, настолько близкое к математически рассчитанной величине? К сожалению, этот замечательный истинный закон даже сегодня часто путают с тем, что некоторые называют законом средних чисел, который и не закон вовсе, а скорее, нелепое предположение, утверждающее, что если достаточно долго бросать монетку, то половина бросков придется на орла, а половина – на решку. Если только мы не примем «достаточно долго» за «неограниченно долго», то утверждение не так уж истинно.

Да, слабый закон больших чисел – действительно поразительная вещь. Но еще более удивительно то, что его можно доказать математически! Он показывает, что случайные события – события с широким диапазоном возможных исходов и без какой-либо памяти о каждом отдельном исходе – могут иметь эмпирическое среднее значение, близкое к математически рассчитанной величине. Математика может рассказать нам об определенных феноменах реального мира – строении мостов и плотин, которые подчиняются математическим законам. Летящий самолет и разбитое окно также следуют математическим законам. Стекло разбивается при определенных резонансных частотах; аэродинамический профиль крыла поднимает самолет, когда давление над крылом меньше давления под ним. Но, когда речь заходит о случайности, связи кажутся куда более загадочными. Игральные кости? Как можем мы знать, какая комбинация выпадет при следующем броске?

Кардано оставил после себя способ сделать это. До его «Книги об азартных играх» случай – счастливый или нет – был в руках Тихеи, Фортуны или других божеств, которые влияли на исход случайных событий в пользу того или иного исхода. Даже у греков, достигших удивительных высот во многих областях математики, не было математической теории азартных игр. Они просто бросали кости, полагая, что удача, случай или некое божество решали их судьбу. О, конечно же, они знали, что некоторые числа выпадали чаще других. Несомненно, знали, что 7 выпадает чаще любого другого числа. Все, что им нужно было сделать, – это сосчитать число вариантов выбросить 7 и сравнить с числом вариантов других комбинаций. Но, насколько мы можем судить, у них не было понятия о прогнозной вероятности.

Небольшая рукопись Кардано содержала первые крупицы знаний и ключи к науке о случайном. Мы узнали, что наблюдаемые факты помогают определить, что может случиться. Согласно Анри Пуанкаре, именно тогда мир узнал, что удача одного человека равна удаче любого другого и даже удаче богов.

Мы должны помнить о том, что во времена Кардано еще не существовало простого научного понятия случайности. Например, математики не задумывались о том, почему одни числа выпадают чаще других. Галилей разрешил эту загадку через полвека после смерти Кардано, когда написал небольшой трактат об игре в кости, хотя маловероятно, что Галилей знал о «Книге об азартных играх» Кардано. Он перечислил все комбинации и обнаружил, что для трех игральных костей существует 27 различных способов получить в сумме 10 или 11, но только 25 способов получить 9 или 12.^{39}