Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

При a = 0 он будет равен f(x) для всех действительных или комплексных значений x, близких к a.

Возьмем ряд Тейлора для f(x) = sin x. Посмотрите: f'(x) = cos x, f''(x) = –sin x, f'''(x) = –cos x, а f''''(x) = sin x = f(x). При сопоставлении с 0, начав с f(0), мы придем к циклу 0, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1…., в котором каждое четное значение x попросту исчезает из ряда. Следовательно, получается, что при любом x, выраженном в радианах,

Аналогично, для f(x) = cos x имеем

Ну и напоследок давайте возьмем пример, в котором ряд Тейлора равен функции при некоторых – но не всех – значениях x. Пусть это будет Здесь f(0) = 1, и, согласно цепному правилу, первые несколько производных выглядят как

Следуя и дальше этой закономерности (или воспользовавшись методом индукции), мы неизбежно придем к заключению, что n-ная производная (1 – x)^–1 будет равна n!(1 – x)^{−(n + 1)} (а при x = 0 – просто n!). Следовательно, ряд Тейлора трансформируется в

что будет верно только при таком значении x, которое находится в диапазоне от –1 до 1. Если же x, например, будет больше 1, то складываемые величины будут становиться все больше и больше, пока сумму станет вовсе невозможно определить.

Странно, правда? Возможно, вам интересно узнать, каково это – складывать бесконечное количество чисел. А как будет выглядеть их сумма? Ответы на эти вопросы – в следующей главе, посвященной бесконечности, главе, в которой мы встретимся со многими странными, удивительными, непредсказуемыми и прекрасными тайнами математики.

Глава номер двенадцать
Магия бесконечности

Бесконечно интересно

Когда еще, как не в конце, под самый занавес, говорить о бесконечности? И когда еще, как не в конце, вспоминать начало? А в начале у нас была сумма всех чисел от 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 +… + 100 = 5050

А потом – и сумма чисел от 1 до n:

А еще были другие суммы чисел конечных диапазонов. В этой главе мы попытаемся сосчитать те числа, ряд которых имеет начало, но не имеет конца, например,

(надеюсь, мне удалось убедить вас, что в результате получится 2, причем не приблизительно, а ровно 2). Некоторые такие ряды дают очень интересные результаты сложения, например,

А другие – вовсе не имеют их, как, скажем,

В математике принято считать, что суммой всех положительных чисел является бесконечность, что записывается следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… = ∞

то есть результат постоянно растет, не имея при этом верхнего предела. По сути, это означает, что ответ превосходит любое число, которое только может возникнуть у вас в голове – сотню, миллион, квадриллион… И все-таки в конце главы мы увидим, что вполне бывает, например, и такое: