Магия математики. Как найти x и зачем это нужно - Артур Бенджамин

Давайте закончим эту главу тем же, чем начали ее – небольшим геометрическим фокусом. Большинство доказательств теоремы Пифагора основываются на перестановке частей одной геометрической фигуры с целью получения другой с той же площадью. Но смотрите, какой обнаруживается парадокс. Возьмем квадрат 8 на 8. Его, пожалуй, вполне можно разделить на четыре части, как на рисунке чуть ниже – длина одной стороны каждой части должна равняться 3, 5 или 8 (да-да, одному из чисел Фибоначчи!). Перегруппируем эти части так, чтобы получился прямоугольник 5 на 13. (Обязательно попробуйте сделать это сами!) Но ведь площадь начальной фигуры равна 8 × 8 = 64, а конечной – 5 × 13 = 65! Но как это возможно?

Разгадка этого парадокса заключается в том, что прямая линия, являющаяся «диагональю» прямоугольника 5 на 13, на самом деле не такая уж и прямая. Смотрите сами: треугольник, обозначенный буквой С, имеет гипотенузу с наклоном 3/8 = 0,375 (потому что значение ее y-координаты увеличивается на 3, а значение x-координаты – на 8) притом, что верхняя грань фигуры (трапеции), обозначенной буквой D, имеет наклон 2/5 = 0,4 (потому что значение ее y-координаты увеличивается на 2, а значение x-координаты – на 5). То же происходит и с нижними гранями трапеции и треугольника, находящихся в верхней части. Отрезки с разным наклоном никогда и ни за что не образуют прямую линию, а значит, если мы присмотримся к нашему прямоугольнику, то увидим небольшой зазор между двумя почти «прямыми» почти «диагоналями» (см. рисунок). И получается, что, будучи растянутой по всей площади, эта щель дает нам лишнюю единицу общей площади.

В этой главе мы узнали много интересного о треугольниках, квадратах, прямоугольниках и других полигонах, образованных с помощью разного количества прямых линий. Геометрия окружностей и других фигур изогнутой формы более сложна. Здесь нам не обойтись без тригонометрии и ее специфических методов счисления. И, конечно же, без основы основ – удивительного числа π.

Глава номер восемь
Магия числа π

Вокруг да около окружности

Прошлую главу мы начали с проверки своей геометрической интуиции: речь шла сначала о прямоугольниках, затем – о треугольниках и наконец – о натянутой между двух футбольных ворот веревке. Пора поговорить и об окружностях, и тут уж мы мелочиться не будем – начнем с того, что обмотаем веревкой Землю!

Вопрос 1. Представьте себе веревку, достаточно длинную, чтобы обернуть ее вокруг Земли по экватору (это примерно 40 075 км). Но перед тем как завязать узелок, добавим к ней еще три метра. Так вот, если неким волшебным образом нам удастся поднять веревку над землей и водой по всей ее длине на одну и ту же высоту, какой будет эта высота?