Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье

Когда они купят по 11 DVD, Марлин истратит больше денег, чем Джек. Марлин придется заплатить $89,10 − $88,20, или на 90 центов больше. Ответы на оба вопроса легко найти, проанализировав представленные в табличной форме данные.

А вот геометрическая задача, решить которую можно только при тщательной организации данных.

Треугольник имеет сумму сторон и периметр, равные 12. Чему равны длины его трех сторон?

Подготовим и организуем перечень данных, обозначив стороны треугольника, как A, B и C. Начнем с A = 1 и перечисления всех возможностей для A = 1. Затем сделаем то же самое для A = 2 и т. д.

В этом перечне все тройки чисел дают сумму, равную 12. Не забывайте, однако, что в треугольнике сумма любых двух сторон всегда больше третьей стороны, иначе треугольник не может существовать. Это условие исключает большее число сочетаний. Единственные три возможности — это 2–5–5, 4–4–4 и 3–4–5. Представление данных в упорядоченном виде значительно облегчает решение задачи.

В этой главе мы представим задачи, которые наиболее эффективно решаются путем организации данных логичным образом. Хотя некоторые из них можно решить и другими способами, они приводятся для демонстрации преимуществ этого вроде бы необычного метода решения.

Задача 7.1

Между двумя баскетбольными командами устраивают конкурс на лучшее исполнение штрафных бросков. В финал выходят Робби и Сэнди. Победителем становится тот, кто первым выполнит подряд два успешных штрафных броска или в целом три штрафных броска. Сколько комбинаций бросков может привести к победе?

Обычный подход

Большинство начинает с попыток найти все возможные комбинации, которые могут привести к победе. Однако непонятно, как определить, все ли комбинации учтены. Это довольно проблематичная задача.

Образцовое решение

Воспользуемся стратегией организации данных и составим два исчерпывающих перечня путей достижения победы каждым игроком. Первый перечень показывает результаты, когда первый бросок делает Робби, второй — когда первый бросок делает Сэнди.

Существует 10 возможных комбинаций, на которых конкурс завершается. Исчерпывающий перечень комбинаций упорядоченно и наглядно представляет возможности.

Задача 7.2

Сколько треугольников изображено на рис. 7.1?

Обычный подход

Как правило, люди начинают подсчитывать треугольники в том или ином порядке, но без определенной системы. Чаще всего это приводит к путанице и неуверенности в том, все ли треугольники учтены. Другой традиционный подход предполагает использование формальных методов подсчета. В этом случае определяются комбинации, которые могут быть образованы шестью линиями, и исключаются комбинации, образующиеся в результате совпадений. Количество комбинаций из шести линий по три равно ₆C₃ = 20. Из этого результата нужно вычесть три совпадения (по вершинам). Таким образом, в фигуре на рисунке 17 треугольников.

Образцовое решение

Для упрощения задачи преобразуем фигуру, будем постепенно добавлять линии и считать, что получается в результате использования такой формы организации данных. Иначе говоря, мы будем подсчитывать треугольники, образующиеся при добавлении каждой части. Начнем с исходного треугольника ABC. Итак, в начале мы имеем всего один треугольник.

Теперь рассмотрим треугольник ABC с одной внутренней линией AD. У нас получилось два новых треугольника ABD и ADC.

Добавим еще одну внутреннюю линию BE и подсчитаем все новые треугольники, имеющие сторону BE.

Таким же образом добавим линию CF и опять подсчитаем новые треугольники, имеющие сторону CF.

Представим полученные результаты в табличной форме.

Общее количество перечисленных выше треугольников равно 17.

Задача 7.3

Дана последовательность Найдите положительное целое число n, при котором произведение первых n членов последовательности превышает 100 000.

Обычный подход

В этом случае обычно прибегают к методу проб и ошибок и начинают добавлять члены в последовательность и перемножать их до тех пор, пока произведение не превысит 100 000. Такой подход трудоемок, и его точно нельзя назвать изящным.