Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье
Книгу Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье читаем онлайн бесплатно и без регистрации! Читать онлайн вы можете не только на компьютере, но и на андроид (Android), iPhone и iPad. Наслаждайтесь!
481 0 17:56, 25-05-2019
ЧИТАТЬ КНИГУ ОФЛАЙН в приложении android
Книга Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам - Альфред Позаментье читать онлайн бесплатно без регистрации
Они показаны на рис. 2.2.
Числовой ряд 1, 2, 3, 5, 8, 13 — это последовательность Фибоначчи, которую в западном мире впервые представил Леонардо Пизанский (известный так же, как Фибоначчи) в 1202 г. В начале такой последовательности стоят 1 и 1, а последующие числа получаются как сумма предыдущих двух. Если продолжить эту последовательность до точки L, то мы получим следующее:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.
Таким образом, используя эту закономерность, мы находим, что из точки A до точки L можно добраться 144 маршрутами.
Джонни берет лист бумаги из записной книжки и разрывает его пополам, а затем кладет получившиеся части одну на другую и еще раз разрывает их пополам. Обрывки он опять складывает и рвет пополам. Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз, то какой толщины будет стопка обрывков? (Будем считать, что толщина листа бумаги 0,0254 мм.)
Можно нарисовать таблицу и подсчитать результаты для каждого действия.
И так далее. В конечном итоге можно заполнить таблицу для всех 20 делений и найти ответ.
Воспользуемся стратегией поиска закономерности для решения этой задачи. После 1-го деления в стопке будет 2 слоя бумаги, после 2-го деления — 4 слоя, после 3 деления — 8 слоев. В экспоненциальной форме количество слоев можно представить, как 21, 22, 23, …, или 2n в общем виде. После 20 делений толщина стопки составит 0,0254 × 220, или около 26 645 мм, что составляет примерно 26,6 м. Вот почему в задаче говорится: «Если Джонни сможет повторить эту процедуру 20 раз».
Сколько квадратов всех размеров на стандартной шахматной доске размером 8 × 8 клеток?
Первой реакцией будет ответ 8 × 8 = 64 квадрата, однако слова «всех размеров» говорят о том, что могут существовать и другие ответы. Математический подход предполагает подсчет количества квадратных областей всех размеров на шахматной доске с 64 клетками, т. е. 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 и т. д. Это неудобно и довольно трудно, поскольку перекрывается множество клеток. К тому же в процессе подсчета легко сбиться, так что такой метод скучен и проблематичен.
Попробуем применить стратегию поиска закономерности в сочетании с таблицей для организации данных. Если начать с доски размером 1 клетка на 1 клетку, то, очевидно, на ней будет только один квадрат, т. е. квадрат 1 × 1. На доске размером 2 клетки на 2 клетки мы увидим четыре квадрата 1 × 1 и один квадрат 2 × 2, т. е. всего 5 квадратов. Представим данные в таблице по мере увеличения размера нашей доски от 1 × 1 до 2 × 2, 3 × 3 и т. д.
В таблице явно просматривается закономерность заполнения клеток в каждой строке, поэтому мы быстро определяем, что на шахматной доске размером 8 × 8 клеток находятся 204 квадрата всех размеров.
В представленной выше таблице можно заметить не только одну закономерность. В ней, например, встречается множество квадратов целых чисел. А если взглянуть на колонку «Всего» и определить разность между следующими друг за другом членами, то мы получим интересную последовательность:
5–1 = 4
14–5 = 9
30–14 = 16
55–30 = 25
91–55 = 36
140–91 = 49
204–140 = 64.
Опять мы получаем квадраты целых чисел. Если теперь найти разность второго порядка, т. е. разность между квадратами, то мы получим последовательность нечетных чисел, начиная с 5:
9–4 = 5
16–9 = 7
25–16 = 9
36–25 = 11
49–36 = 13
64–49 = 15.
Закономерности не только очень полезны для решения задач, как мы видели выше, они также придают прелесть математике.
Таблица, представленная ниже, продолжается бесконечно. Какая буква будет находиться в середине 30-го ряда?
Можно продолжить выписывать буквы в каждом ряду, пока не дойдем до 30-го ряда. Теперь можно определить, какая буква находится в середине. Такой метод громоздок, но он дает правильный ответ.
Это классический пример того, насколько эффективно поиск закономерности позволяет решать задачи. Для выявления закономерности построим еще четыре ряда букв.
Поскольку в последовательности 6 букв, ряды будут повторяться после каждых 6 букв. Более того, поскольку 30 кратно 6, буква в середине 30-го ряда будет той же самой, что и в середине 6 ряда, т. е. A. Стратегия распознавания закономерности делает решение задачи очень легким.
Найдите цифру в разряде единиц у каждого из следующих чисел:
Прочитали книгу? Предлагаем вам поделится своим впечатлением! Ваш отзыв будет полезен читателям, которые еще только собираются познакомиться с произведением.
Уважаемые читатели, слушатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.
Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний. Просьба отказаться от нецензурной лексики. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.
Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор сайта
Оставить комментарий
Mkot1312 июль 21:17
