Озадачник. 133 вопроса на знание логики, математики и физики - Николай Полуэктов

Что больше – десять в пятой степени или пять в десятой?

Варианты ответов

1. 10⁵ > 5¹⁰.

2. 5¹⁰ > 10⁵.

3. Возможно, они равны?

Правильный ответ: 2

Сколько будет 10⁵, мы, конечно же, знаем – это единица с пятью нулями, 100 000. А 5¹⁰? На самом деле, вооружившись знаниями из предыдущего примера (№ 43), мы тоже легко можем посчитать, хотя бы приблизительно. Заметив, что 5 = 10/2, возведем последнюю дробь в десятую степень, помня правило возведения дроби в степень (числитель и знаменатель можно возводить в нее порознь), получим 10¹⁰/2¹⁰, а поскольку 2¹⁰, как мы теперь уже знаем, это примерно 1000, т. е. 10³, получаем 5¹⁰ ≈ 10¹⁰/10³ = 10⁷ = 10 000 000. Значит, пять в десятой степени почти в 100 раз больше, чем десять в пятой! Интересно решить более общую задачу: если m > n, всегда ли, как в этом случае, n^m больше, чем mⁿ? Оказывается, если и m, и n больше двойки (3, 4, 5 и т. д.), то да, всегда. А вот когда n = 2, есть два интересных случая: когда m = 3, 2³ (8) меньше, чем 3² (9), а когда m = 4, то 2⁴ и 4² и вовсе равны (это 16). Если же m равно 5, 6 и т. д., мы снова возвращаемся к общему правилу 2^m > m².

88. Братья и сестры

У Саши сестер на двое больше, чем братьев. На сколько у Сашиных родителей больше дочерей, чем сыновей?

Варианты ответов

1. На одну.

2. На три.

3. Невозможно определить.

Правильный ответ: 3

Предположим для простоты, что у Саши две сестры и вовсе нет братьев. Тогда дочерей у Сашиных родителей на три больше, чем сыновей, если Саша девочка, и на одну, если он мальчик. Поскольку Саша – имя универсальное, может быть как мужским, так и женским, пол Саши определить не представляется возможным, как и ответить на поставленный в задаче вопрос.

Физика

89. Льдина в бассейне

В бассейне плавает глыба льда. Через некоторое время она тает. Что случилось с уровнем воды в бассейне?

Варианты ответов

1. Повысился.

2. Понизился.

3. Остался неизменным.

Правильный ответ: 3

Уровень воды, разумеется, не изменится, и это очень легко объяснить наглядно. Поместим льдину в бесконечно легкую кастрюлю и пустим плавать в нашем бассейне. Льдина растаяла, но, так как масса содержимого кастрюли не изменилась, не изменился и уровень воды в бассейне. При этом, очевидно, уровень воды внутри (после таяния льда) и снаружи кастрюли (раз она не имеет массы) обязаны совпадать. Мысленно удаляем нашу воображаемую кастрюлю – вуаля, наше предположение доказано. Привет сторонникам теории глобального потепления.

90. Без весла

Посреди озера в штиль рыбак умудрился сломать весло. Рыбак подумал, что сможет плыть и без весла, если будет действовать следующим образом: бегом бежать от кормы к носу лодки и медленным шагом возвращаться обратно. Прав ли рыбак и в какую сторону он в таком случае поплывет?

Варианты ответов

1. Разрази его гром, прав! Поплывет носом вперед.

2. Прав, морской черт! Только поплывет он задом – кормой вперед.

3. Дурак ваш рыбак, и метод его дурацкий.

Правильный ответ: 1

Если представить, что трения об воду нет, то рыбацкий труд, конечно, не имел бы смысла: по закону сохранения импульса лодка смещалась бы против направления движения рыбака, а за полный цикл (корма – нос – корма) смещение равнялось бы нулю. Но трение в воде есть, более того, оно квадратично зависит от скорости: чем больше скорость (лодки), тем сильнее сопротивление воды. Соответственно, когда рыбак бежит от кормы к носу, лодка смещается назад на меньшее расстояние, чем вперед – когда он неспешно прогуливается в обратном направлении.

91. Камни на пашне

Каждый год по весне на пахотных землях появляются камни, про такие говорят, что они «из земли растут». Откуда они берутся?

Варианты ответов