Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Большинство избирателей (все, кто попадает в секторы круговой диаграммы, обозначенные как К и Р) предпочитают Райта Монтроллу. А другое большинство (избиратели из секторов М и К) отдают предпочтение Киссу перед Райтом. Если большинство людей симпатизируют Киссу больше, чем Райту, и большинство людей симпатизируют больше Райту, чем Монтроллу, разве это не значит, что Кисс снова должен победить? Есть только одна проблема: люди отдают предпочтение Монтроллу перед Киссом с большим перевесом – 2845 против 371 голосов. Мы имеем невероятный треугольник голосов: Кисс превосходит Райта, Райт превосходит Монтролла, Монтролл превосходит Кисса^[299]. Каждый из кандидатов проиграл бы в борьбе один на один одному из оставшихся двух кандидатов. Так как вообще кто-нибудь из них может с полным на то правом занять должность мэра?

Досадная ситуация такого рода называется парадоксом Кондорсе, по имени французского философа эпохи Просвещения, который впервые описал этот парадокс в конце XVIII столетия. Мари Жан Антуан Николя де Карита, маркиз де Кондорсе, сторонник республиканских идей в преддверии Французской революции, выбранный в итоге президентом Национального конвента. Кондорсе был весьма необычным политиком – застенчивый и склонный к переутомлению, со спокойной и слегка торопливой манерой речи; неудивительно, что его предложения часто тонули в революционном шуме. Но его быстро выводили из себя люди, интеллектуальный уровень которых не соответствовал его собственному. За сочетание застенчивости и вспыльчивости наставник Кондорсе Жак Тюрго прозвал его le mouton enragé «обезумевший барашек»^{265}.

Кондорсе со страстью окунулся в политическую деятельность, сохраняя при этом непоколебимую веру в здравый смысл, особенно в математику, как в организующее начало человеческой жизни. Приверженность здравому смыслу была свойственна всем мыслителям эпохи Просвещения, но убежденность Кондорсе, что социальный и нравственный мир можно проанализировать с помощью уравнений и формул, была чем-то принципиально новым. Он был первым социологом в современном понимании. (Сам Кондорсе использовал термин «социальная математика».) Кондорсе, рожденный в аристократической семье, быстро пришел к пониманию универсальных законов мышления, которые нужно ставить выше прихотей королей. Он разделял мнение Руссо, что «общая воля» народа должна верховенствовать над государством, но был не согласен, в отличие от того же Руссо, принимать это утверждение в качестве самоочевидного принципа. По мнению Кондорсе, правило большинства требует математического обоснования, и он нашел его в теории вероятностей.

Свою теорию Кондорсе изложил в трактате «Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix» («Рассуждения о применении анализа к оценке выборов большинством голосов»), который был опубликован в 1785 году. Вот самая кратчайшая версия его метода. Предположим, жюри присяжных из семи человек предстоит принять решение о виновности подсудимого. Четверо членов жюри утверждают, что подсудимый виновен, а трое убеждены в его невиновности. Допустим, каждый из этих граждан придерживается правильной точки зрения с вероятностью 51 %. В таком случае можно предположить, что большинство – то есть четыре голоса против трех – с большей вероятностью примет правильное решение, чем неправильное.

Немного напоминает ситуацию с Мировой серией^[300]. Если в финале играют команды «Филлис» и «Тайгерс»^[301] и мы считаем, что «Филлис» – более сильная команда, чем «Тайгерс» (скажем, «Филлис» может выиграть каждый матч с вероятностью 51 %), тогда «Филлис» с большей вероятностью выиграет Мировую серию с перевесом 4:3, чем проиграет с таким же отрывом. Если бы победитель Мировой серии определялся по результатам пятнадцати матчей, а не семи, у команды из Филадельфии было бы еще более весомое преимущество.

Так называемая «теорема жюри» Кондорсе показывает, что достаточно большое жюри присяжных с большой долей вероятности придет к правильному выводу, если только членам жюри свойственна индивидуальная склонность к верным суждениям, какой бы незначительной она ни была^[302]. Кондорсе утверждал: если большинство людей убеждены в чем-то, это можно считать веским доказательством в пользу того, что это правильно. Наше доверие к мнению достаточно многочисленного большинства имеет под собой математическое обоснование – даже если это противоречит нашим прежним убеждениям. «Мне должно действовать не в соответствии с тем, что я считаю разумным, – писал Кондорсе, – а в соответствии с тем, что каждый, кто, подобно мне, абстрагировался от собственного мнения, должен считать соответствующим здравому смыслу и истине»^{266}. Роль жюри присяжных во многом похожа на роль зрителей в телеигре Who Wants to Be a Millionaire? («Кто хочет стать миллионером?»). По убеждению Кондорсе, когда у нас есть возможность выяснить точки зрения людей, пусть даже людей незнакомых и не имеющих соответствующей подготовки, мы должны ставить мнение большинства выше своего собственного.

Педантичный подход Кондорсе снискал благосклонность к нему государственных деятелей, не чуждых научным интересам, например Томаса Джефферсона (с которым Кондорсе разделял страстную увлеченность стандартизацией единиц измерения). Джон Адамс, напротив, относился к Кондорсе с презрением: на полях его книг он писал, что автор «мошенник» и «математический шарлатан»^{267}. Адамс относился к Кондорсе как к безнадежному теоретику-экстремисту, чьи идеи никогда не найдут практического применения, кроме того, он считал, что француз-республиканец оказывает негативное влияние на Джефферсона, разделяющего его взгляды. Но на самом деле жирондистская конституция, которую писал Кондорсе для Республики, – конституция, основанная на математических принципах и сложных правилах проведения выборов, – так и не была принята во Франции и где бы то ни было. Кондорсе, придерживавшийся практики приведения идей в соответствие с вытекающими из них логическими выводами, едва ли не единственный среди своих современников настаивал, чтобы широко обсуждаемые права человека распространялись и на женщин.