Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Однако статистик Эндрю Гельман обнаружил, что на самом деле ситуация сложнее, чем составленный Бруксом портрет новой породы потягивающих латте, передвигающихся на автомобилях Prius либералов с большими изысканными домами и мешками денег^{231}. В действительности богатые люди по-прежнему чаще голосуют за республиканцев, чем бедные, – эффект, который существует уже многие десятилетия. Гельман и его коллеги глубже проанализировали данные по штатам и обнаружили очень интересную закономерность. В некоторых штатах, таких как Техас и Висконсин, более богатые округа обычно голосуют за Республиканскую партию^{232}. В других штатах, таких как Мэриленд, Калифорния и Нью-Йорк, богатые округа склонны поддерживать Демократическую партию. В последних штатах из упомянутых выше живут многие политические деятели. В их ограниченном мире богатых районов действительно обитает много либералов, поэтому для них естественно обобщать этот опыт на остальную часть округа. Естественно, но, если посмотреть на общие результаты, совершенно неправильно.

Создается впечатление, что здесь имеет место парадокс. Между статусом богатого человека и проживанием в богатом штате почти по определению существует положительная корреляция. С другой стороны, существует положительная корреляция между проживанием в богатом штате и голосованием за Демократическую партию. Разве это не означает, что должна существовать корреляция между статусом богатого человека и голосованием за демократов? Представим эту ситуацию в геометрическом виде: если вектор 1 образует острый угол с вектором 2, а вектор 2 образует острый угол с вектором 3, разве не должен вектор 1 находиться под острым углом к вектору 3?

Нет! Вот доказательство в виде рисунка.

Некоторые связи, такие как «больше чем», транзитивны: если мой вес больше веса моего сына, а сын весит больше дочери, тогда мой вес больше веса дочери. «Живет в том же городе» – тоже транзитивная связь: если я живу в том же городе, что и Билл, который живет в том же городе, что и Боб, тогда я живу в том же город, что и Боб.

Корреляция не обладает свойством транзитивности. Она скорее напоминает кровное родство: я кровный родственник своего сына, который является кровным родственником моей жены, но мы с женой не являемся кровными родственниками. На самом деле не такая уж плохая идея представлять себе коррелированные переменные как величины, у которых «совпадает часть ДНК». Предположим, я руковожу небольшой компанией по управлению активами, у которой всего три инвестора: Лаура, Сара и Тим. У них достаточно простые биржевые позиции: фонд Лауры разделен пополам между акциями Facebook и Google, у Тима половина акций General Motors и половина акций Honda, а Сара, поддерживая равновесие между старой и новой экономикой, имеет половину акций Honda и половину акций Facebook. Очевидно, что между рентабельностью инвестиций Лауры и Сары существует положительная корреляция, поскольку у них половина инвестиционного портфеля общая. Существует также сильная корреляция между рентабельностью инвестиций Сары и Тима. Однако нет никаких оснований считать, что доходность фонда Тима как-то связана с доходностью фонда Лауры^[276]. Эти два фонда как родители: каждый из них вносит свою половину «генетического материала» в формирование гибридного фонда Сары.

Нетранзитивность корреляции и очевидна и загадочна одновременно. В примере со взаимным фондом вас ничто не заставило бы думать, что повышение доходности фонда Тима дает какую-либо информацию, как обстоят дела у Лауры. Однако в других областях наша интуиция работает не так хорошо. Возьмем в качестве примера так называемый хороший холестерин, то есть холестерин, который переносится в крови липопротеинами высокой плотности (далее везде по тексту – ЛПВП). Уже многие десятилетия известно, что высокий уровень ЛПВП в крови связан с более низким риском сердечно-сосудистых осложнений. Если вы не владеете медицинской терминологией, вам поможет такое объяснение: у людей с высоким уровнем хорошего холестерина меньше вероятность умереть от сердечного приступа.

Известно также, что некоторые медицинские препараты гарантированно повышают уровень ЛПВП. Один из популярных препаратов такого типа, разновидность витамина B, – ниацин^[277]. Если ниацин повышает уровень ЛПВП, а более высокий уровень ЛПВП связан со снижением риска сердечно-сосудистых осложнений, тогда прием ниацина кажется разумной идеей – именно поэтому мой врач рекомендует его мне, как, по всей вероятности, рекомендует это вам ваш врач, если только вы не подросток, не участник марафона и не член какой-либо другой группы людей с особым метаболизмом.

Проблема в том, что не совсем понятно, действительно ли это обеспечивает требуемый результат. Во время небольших клинических испытаний введение ниацина действительно показало многообещающие результаты. Однако крупномасштабное исследование, которое проводил Национальный институт болезней сердца, легких и крови, было остановлено в 2011 году, за полтора года до запланированного окончания испытаний, поскольку результаты были настолько слабыми, что продолжать не имело смысла^{233}. У пациентов, получавших ниацин, действительно повысился уровень ЛПВП, однако у них было столько же случаев инфаркта миокарда и приступов стенокардии, сколько и у всех остальных участников исследования. Чем это объясняется? Тем, что корреляция не транзитивна. Существует корреляция между ниацином и высоким уровнем ЛПВП, а также корреляция между высоким уровнем ЛПВП и низким риском острых сердечно-сосудистых заболеваний, однако это не значит, что ниацин предотвращает такие заболевания.

Однако мы не скажем, что регулирование уровня холестерина ЛПВП – это тупик. Каждый лекарственный препарат имеет свою специфику, и может быть клинически значимым, на сколько именно вы повышаете уровень ЛПВП. Вернемся к инвестиционной компании: мы знаем, что существует корреляция между показателями рентабельности инвестиций Тима и Сары, поэтому можно попытаться повысить прибыль Сары, приняв меры, направленные на увеличение прибыли Тима. Если ваш подход сводился бы к тому, чтобы дать неоправданно оптимистический совет, чтобы подстегнуть курс акций GM, вы обнаружили бы, что результаты Тима улучшились, тогда как Сара не получила никакой выгоды. Но, если вы сделали бы то же самое с акциями компании Honda, это повысило бы прибыль и Тима и Сары.