Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы - Майкл Шермер

Следующий шаг — округление большего из чисел до ближайшей тысячи, то есть замена 57 867 на 58 000. Деление 58 на 6 дает 9 с остатком. Но самый важный элемент решения данной задачи — это поиск местоположения цифры 9.

Например, в результате умножения 6 х 90 получается 540, тогда как 6 х 900 = 5400. Оба варианта дают слишком малые числа. Но 6 х 9000 = 54 000, что достаточно близко к делимому. Это говорит о том, что ответ будет 9 000 плюс «что-то». Можно прикинуть это «что-то», сначала отняв 58–54 = 4. В этом случае вам нужно снести 0 и разделить 40 на 6 и т. д. Но если вы внимательны, то поймете, что деление 4 на 6 дает 4/6 = 2/3, что приблизительно равно 0,667. Поскольку ваш ответ «9 000 плюс что-то», теперь можно сказать «9 667». В действительности точный ответ будет 9 645.

Чертовски близко!

Деление чисел на таком уровне кажется довольно простым. Но как быть с большими задачами на деление? Скажем, мы хотим посчитать, забавы ради, сколько зарабатывает профессиональный спортсмен в день, если его зарплата за год составляет 5 000 000 долларов.

Первым делом нужно оценить примерный ответ. Этот игрок зарабатывает каждый день тысячи? Ну, если 365 х 1000 = 365 000, то получается слишком мало.

Или десятки тысяч? Ну, 365 х 10 000 = 3 650 000. Это уже больше похоже на правду. Для получения приближенной оценки разделите первые две цифры (50 на 36), и у вас получится 1 и 14/36, или 1 и 7/18. Так как 70 — это примерно 4 раза по 18, выходит, что спортсмен зарабатывает около 14 000 долларов в день. Точный ответ — 13 698,63 доллара. Неплохая точность. (И неплохая зарплата!)

А вот астрономический расчет. Сколько секунд необходимо свету, чтобы долететь от Солнца до Земли? Свет перемещается со скоростью 186 282 мили в секунду, а Солнце находится на расстоянии (в среднем) 92 960 130 миль от Земли. Я сомневаюсь, что вы очень хотите решить эту задачку вручную.

К счастью, приближенную оценку ответа достаточно легко получить. Сначала упростим задачу.

Теперь разделим 930 на 186, что даст нам 5 без остатка. Потом добавим два 0, которые забрали у 93 000, и получим 500 секунд. Точный ответ — 499,02 секунды. Этот пример показывает, что приближенная оценка может заслуживать большого уважения.

ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ УМНОЖЕНИИ

Для приблизительной оценки ответов в задачах на умножение используются примерно те же приемы, что и описанные выше. Например:

Округление до ближайшего кратного 10 значительно упрощает задачу, но ответ все еще на 252 меньше истинного (погрешность около 5 %). Можно улучшить ситуацию, округлив оба числа на одинаковую величину в разных направлениях.

Так, если округлить 88 до 90, то 54 следует уменьшить на 2.

Итак, вместо задачи на умножение типа «2 на 2» теперь мы имеем дело с умножением типа «2 на 1», что не должно быть для вас сложным. В данном случае приближенная оценка отклоняется от истинного значения всего на 1,5 %.

Если приближенный ответ для задачи на умножение получен путем округления большего числа в большую сторону и меньшего в меньшую, то он будет несколько занижен. Если округлить большее число в меньшую сторону, а меньшее в большую (тогда, возможно, числа станут достаточно близкими), приближенный ответ получится слегка завышенным.

Чем больше величина, на которую вы округляете в ту или иную сторону, тем большее отклонение будет иметь приближенная оценка. Например:

Поскольку после округления числа стали близки друг к другу, приближенная оценка получилась слегка завышенной.

Так как перемножаемые числа не близки друг к другу, приближенная оценка ответа занижена, но ненамного. Нетрудно заметить, что метод приближенной оценки весьма эффективно работает для примеров на умножение. Кроме того, обратите внимание, что данный пример — это задача на возведение в квадрат 672, и наше приближение — всего лишь первый шаг в технике возведения в квадрат. Рассмотрим еще один пример.

Заметим, что приближение будет наиболее точным, когда исходные числа близки друг к другу. Попробуйте оценить ответ для задачи типа «3 на 2».

Путем округления 63 до 60 и 728 до 731 создается задача на умножение типа «3 на 1», что отдаляет приближенную оценку на величину 2004 от точного ответа. Здесь погрешность составляет 4,3 %.

Попробуйте дать приблизительную оценку следующей задаче «3 на 3».

Как видите, хотя мы округлили оба числа на 8 в разные стороны, приближенный ответ отклоняется более чем на 1000 от точного значения. Так происходит потому, что перемножаемые числа в данной задаче большие и число, на которое они округляются, тоже большое. Поэтому получившаяся в результате оценка будет отклоняться на бóльшую величину. Но относительная погрешность по-прежнему меньше 1 %.