Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы - Майкл Шермер

* * *

Джордж Биддер: инженер «калькулятор»

У англичан тоже была своя когорта мастеров молниеносных вычислений. Например, устные выступления Джорджа Биддера (1806–1878), уроженца Девоншира, производили на зрителей неизгладимое впечатление. Как и большинство математических талантов, Биддер увлекся арифметическими задачами, еще будучи мальчишкой, и учился счету, сложению, вычитанию, умножению и делению в процессе игры с мраморными шариками. На гастроли со своим отцом юный Биддер отправился в возрасте девяти лет.

Почти ни один из задаваемых вопросов не был для него сложным. «Если Луна находится на расстоянии 123 256 миль от Земли, а звук движется со скоростью четыре мили в минуту, сколько времени понадобится звуку для путешествия с Земли на Луну?» Молодой Биддер, сморщив ненадолго в раздумье лоб, выпалил: «Двадцать один день, девять часов, тридцать четыре минуты». (Сегодня-то мы знаем, что это расстояние чуть ближе к 240 000 милям, а звук не может перемещаться через вакуум.) В десять лет Биддер мысленно извлек квадратный корень из 119 550 66 121, получив ответ 345 761 всего за 30 секунд. В 1818 году Биддер и молниеносный вычислитель из США Зера Колберн сошлись в ментальной счетной дуэли, в которой Биддер, по-видимому, «численно» превзошел Колберна.

На волне славы Джордж Биддер поступил в университет Эдинбурга и впоследствии стал одним из наиболее уважаемых инженеров в Англии. В парламентских дебатах по поводу железнодорожных конфликтов Биддер часто выступал в качестве свидетеля, от чего его оппонентов бросало в дрожь. Кто-то сказал: «Природа наделила его определенными качествами, которые лишали его соперников справедливого положения».

В отличие от Колберна, покинувшего семейство молниеносных вычислителей в возрасте двадцати лет, Биддер сохранял свой статус на протяжении всей жизни. Так, в 1878 году, незадолго до смерти, Биддер рассчитал число световых волн, попадающих в глаз за одну секунду, основываясь на том, что существует 36 918 волн красного света на дюйм и что свет передвигается со скорость примерно 190 тысяч миль в секунду.

* * *

Обратите внимание: мы округлили первое число в бóльшую сторону до ближайшей тысячи, а второе — в меньшую, тоже до ближайшей тысячи. Так как точный ответ равен 14 186, погрешность относительно мала.

Если хотите получить более точный ответ, вместо того чтобы округлять в сторону ближайшей тысячи, округляйте в сторону ближайшей сотни.

Ответ лишь на 14 единиц отличается от точного ответа: относительная погрешность меньше чем 0,1 %. Вот это я называю отличной приближенной оценкой!

Попробуйте задачу на сложение пятизначных чисел, округляя их до ближайшей сотни.

Благодаря округлению до ближайшей сотни погрешность нашего ответа всегда будет меньше 100. Если ответ больше 10 000, приближенная оценка будет в пределах 1 % от точного ответа.

Теперь попробуем что-нибудь посложнее.

Если вы округлите до ближайшего миллиона, то получите ответ в 31 миллион, что примерно на 285 000 меньше истинного значения. Неплохо, конечно, но вы можете улучшить ответ, округляя до ближайших ста тысяч, как показано в последнем столбце. В этом случае приближенная оценка снова будет в пределах находиться 1 % от точного ответа. Если вы научитесь находить точные ответы для таких задач с меньшими числами, то сможете приблизительно оценить ответ в любой задаче.

Приближенная оценка в супермаркете

Рассмотрим пример из реальной жизни. Придя в магазин, вы когда-нибудь интересовались общей суммой покупки до того, как кассир пробил чек? Для оценки общей суммы я использую технику округления цен до ближайших 50 центов. Например, пока кассир складывает числа, показанные слева, я мысленно суммирую числа, показанные справа.

1,39 1,50

0,87 1,00

2,46 2,50

0,61 0,50

3,29 3,50

2,99 3,00

0,20 0,00

1,17 1,00

0,65 0,50

2,93 3,00

3,19 3,00

____________

19,75 19,50

Моя итоговая цена, как правило, колеблется в пределах одного доллара от точного значения.

ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ВЫЧИТАНИИ

Способ получения приближенной оценки при вычитании такой же, как и при сложении: округляем до ближайшей тысячи или сотни (последнее предпочтительнее).

Как видите, округление до ближайшей тысячи делает ответ не совсем корректным. Благодаря округлению второй цифры (до сотен в нашем примере) погрешность обычно колеблется в пределах 3 %. В данной задаче приближенное решение отклоняется от истинного ответа лишь на 52, поэтому относительная погрешность составляет 2 %. Если округлять третью цифру, то относительная погрешность обычно будет меньше 1 %.

Например:

Путем округления третьей цифры вместо второй можно значительно улучшить точность оценки.

ПРИБЛИЖЕННАЯ ОЦЕНКА ПРИ ДЕЛЕНИИ

Первый и самый важный шаг расчета приближенного ответа для задачи на деление — это определить величину частного.