Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности - Ласло Мерё

Масштабно-инвариантный мир хаотичен по самой своей природе, так что ему определенно нет места в Тихонии. Как мы видели, масштабная инвариантность бывает свойственна не только сетям, но и облакам, снежинкам, кротовым ходам, папоротнику, готической архитектуре, финансовым рынкам и многим другим природным и социальным явлениям. По сравнению с Тихонией масштабно-инвариантный мир хаотичен, непредсказуем и экстремален, даже в самой «тихой» своей форме, а именно в ситуациях, в которых фактор Мандельброта близок к 0. В то же время самые «дикие» формы масштабной инвариантности, с фактором Мандельброта, равным 2 или даже больше того, представляют собой сравнительно тихие формы Диконии. По меньшей мере в них действует некий руководящий принцип — масштабная инвариантность.

Масштабно-инвариантному миру присуща своего рода умеренная или тихая дикость: в нем уже не действуют законы Тихонии, но и полноценная дикость Диконии до некоторой степени сдерживается организующим принципом. Более того, и в этом тихо-диком мире есть части более тихие и более дикие. В более тихих частях фактор Мандельброта меньше 1, в то время как у более диких, в которых этот фактор больше 1, даже нет стандартного отклонения. Если фактор Мандельброта α меньше 1, то, по мере того как мы исследуем связи некой вершины, потом — связи всех вершин, соединенных с первой, потом — связи каждой новой вершины и так далее, доля известных нам вершин растет и асимптотически приближается к 100 %. Чем меньше значение α, тем быстрее наше знание о сети приближается к стопроцентному.

Если α = 1, наше знание о данной вершине остается постоянным: доля неизвестных нам связей остается приблизительно неизменной, и число открытых новых вершин приблизительно равно числу вершин уже исследованных.

Если α > 1, то чем больше связей какой-либо вершины мы исследуем, тем больше становится доля еще не исследованных вершин. Доля известных нам соединений падает и асимптотически приближается к 0 %, потому что у вершины обнаруживаются все новые и новые связанные вершины, по большей части нам неизвестные, причем быстрее, чем мы успеваем их исследовать. Чем больше значение α, тем быстрее доля известного нам приближается к 0 %.

Фактор Мандельброта — очень изящная математическая концепция. Теоретически он представляет собой точную меру «дикости» той или иной сети. К сожалению, рассчитать этот фактор для каждой конкретной сети очень трудно, потому что это вычисление требует огромного объема данных, а в реально встречающихся сетях данные могут быть неточными и противоречивыми. Тем не менее некоторые исследователи берутся за решение этой задачи, и в нескольких недавних научных работах описываются попытки оценки фактора Мандельброта для безмасштабных сетей реального мира. В большинстве таких статей приводятся оценки какого-нибудь другого параметра сети, который можно использовать для определения фактора Мандельброта.

Некоторые из этих результатов представлены в верхней части таблицы 1 на с. 198. Поскольку реальные значения фактора Мандельброта невозможно привести с высокой точностью, я не даю никаких конкретных численных оценок. Вместо этого я разбил сети на три группы: те, у которых фактор Мандельброта существенно меньше 1 (слабо хаотичные), те, у которых он близок к 1 (пограничное состояние с точки зрения наличия или отсутствия стандартного отклонения), и те, у которых этот фактор существенно превышает 1 (следовательно, у них даже в теории не существует стандартного отклонения). Так как оценки приблизительны, принадлежность сетей к этим группам не следует считать абсолютно точной. Тем не менее эта таблица дает хорошее представление о степени дикости хаоса в различных областях.