Как работает вселенная. Введение в современную космологию - Сергей Парновский

В этом разделе мы выводим закон Хаббла, предположив изотропию и однородность Вселенной.

Рассмотрим точки 1, 2 и 3 где-то во Вселенной, образующие треугольник, как показано на рис. 2.1. Длины сторон треугольника являются r21, r31 и r32. Длина r31 зависит не только от длины двух других сторон, но и от угла между ними. Изменяя угол, мы можем получить любое значение r31 в диапазоне от |r21 – r32 | до r21 + r32.

Из-за космологического расширения точки удаляются друг от друга. Рассмотрим движение частиц в двух других точках, наблюдаемых из определенной точки: скажем, из точки 1. Каждая из точек 2 и 3 может смещаться только в радиальном направлении от точки 1, в противном случае Вселенная была бы анизотропной. В изотропной Вселенной попросту нет никаких выделенных направлений, за исключением радиального. Скорости удаления всех частиц на расстоянии r от наблюдателя должны быть одинаковыми независимо от их направления, в противном случае Вселенная тоже была бы анизотропной. Таким образом, условие изотропии фиксирует скорость расширения в видегде f (r) – некоторая пока неизвестная функция.

Скорость точки 2 по отношению к наблюдателю в точке 1 равнаТочка 3 движется со скоростьюотносительно точки 2. Сложив эти скорости, мы получаем, что точка 3 движется со скоростьюотносительно точки 1. Это дает нам условие:

Так как векторымогут иметь разные направления, это возможно, только если

f (r21) = f (r31) = f (r32) = const. (2.3)

Таким образом, функция f (r) сводится к постоянной, которую мы называем постоянной Хаббла H. Следовательно, в однородной и изотропной Вселенной в любой момент времени единственно возможным законом расширения является закон Хаббла (2.1).

Обратите внимание, что при выводе закона Хаббла мы игнорировали релятивистские эффекты, связанные с конечностью скорости света. В релятивистском случае мы больше не можем просто складывать скорости, формулы становятся более сложными.

Выведем их. Согласно СТО, если тело движется со скоростью v относительно неподвижного наблюдателя, а второе тело движется в том же направлении со скоростью w относительно первого, то скорость второго тела относительно неподвижного наблюдателя равна:

Используя обратные гиперболические функции, это уравнение можно переписать в виде:

Гиперболический арктангенс может быть сведен к натуральным логарифмам как

Если бы постоянная Хаббла H была действительно постоянной, то мы должны были бы использовать функцию c×arth (v/c) вместо v в законе Хаббла (2.1) и получить (здесь буквы th обозначают гиперболический тангенс):

Тем не менее для скоростей намного меньше скорости света закон Хаббла в виде (2.1) хорошо работает.

Обратите внимание, что скорость v разбегания галактик и других космических объектов не может достичь скорости света с, и это никак не противоречит СТО. Расстояние r = c/H, таким образом, не является границей наблюдаемой части Вселенной, как многие ошибочно полагают. В разделе 3.4 мы обсудим космологический горизонт, который является настоящей границей видимой части Вселенной, но существование этой границы вызвано совершенно другой причиной.