Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания - Марио Ливио

Кроме того, есть много случаев и обратной связи между физикой и математикой, когда физическое явление вдохновляло на создание какой-то математической модели, а потом оказывалось, что эта модель объясняет совершенно иное физическое явление. Превосходный пример – феномен под названием «броуновское движение». В 1827 году английский ботаник Роберт Броун (1773–1858) заметил, что если развести пыльцу в воде, отдельные пылинки начинают оживленно двигаться. Этот эффект объяснил Эйнштейн в 1905 году: броуновское движение – результат столкновений коллоидных частиц с молекулами окружающей жидкости. Каждое столкновение в отдельности настолько слабенькое, что им можно пренебречь, поскольку частички пыльцы в миллионы раз массивнее молекул воды, однако постоянная бомбардировка оказывает кумулятивное воздействие. Так вот, представьте себе, что ту же модель мы обнаруживаем в движении звезд в звездных скоплениях! Там броуновское движение вызвано кумулятивным воздействием множества звезд, проходящих мимо данной конкретной звезды – и каждый проход чуть-чуть влияет на ее движение (посредством гравитации).

Однако существует и совершенно иное – не такое, как «модифицированное платоническое» – представление о природе математики и о причине ее могущества. Согласно этому представлению (оно сложным образом связано с догмами, которые в философии математики клеймят «формализмом» и «конструктивизмом»), математика существует исключительно в человеческом сознании. Математика, какой мы ее знаем, не более чем человеческое изобретение, а разумные цивилизации в других уголках Вселенной вполне могли разработать совершенно иные концепции. Математические объекты в объективной реальности не существуют, это плоды воображения. По словам великого немецкого философа Иммануила Канта, конечная истина математики лежит в вероятности, что ее концепции способен сконструировать человеческий разум. Иначе говоря, в математике Кант подчеркивает свободу– свободу постулировать и изобретать структуры и закономерности.

Подобное представление о математике как об изобретении человека особенно распространено у современных психологов. Например, французский писатель и исследователь Станислас Дехене в своей интересной книге «Чувство числа» (Stanislas Dehaene. The Number Sense, 1997) пишет, что «интуиционизм [для автора – синоним человеческого изобретения], как мне кажется, лучше всего описывает отношения между арифметикой и мозгом человека». О чем-то подобном говорит и последнее предложение книги лингвиста Джорджа Лакоффа и психолога Рафаэля Э. Нуньеса «Откуда взялась математика», которую издал Калифорнийский университет в Беркли в 2000 году (George Lakoff, Rafael E. Nüсez. Where Mathematics Comes From): «У портрета математики человеческое лицо». В основном эти выводы основываются на результатах психологических экспериментов и на неврологических исследованиях функционирования мозга. Эксперименты показывают, что у младенцев есть врожденные механизмы распознавания небольших наборов чисел и что дети спонтанно овладевают простыми арифметическими навыками даже без специального обучения. Кроме того, выявлено, что кора теменной доли головного мозга отвечает за способность обрабатывать числа и символы и обладает соответствующей нейронной структурой. Эта область в обоих полушариях анатомически расположена в месте, где пересекаются нервные связи осязания, зрения и слуха. Существует редкая форма эпилепсии, при которой припадки у больных случаются при попытке совершать арифметические действия, она так и называется epilepsia arithmetices, и электроэнцефалограмма у таких больных показывает аномалии именно в коре теменной доли. А повреждение этого участка влияет на способности к математике, письму и ориентации в пространстве.

Даже если согласиться с представлением о математике как об изобретении человеческого разума, не имеющем отношения к реальности, которое основано исключительно на физиологии и психологии, все равно придется отвечать на два интересных вопроса: почему математика так замечательно описывает Вселенную и как так вышло, что даже продукты чистейшей математики зачастую соответствуют физическим явлениям – более того, идеально к ним подходят?

Ответ, который дают на оба эти вопроса сторонники теории «человеческого изобретения», также основан на биологической модели: дело в эволюции и естественном отборе. Идея в том, что прогресс в понимании Вселенной и формулировании математических законов, описывающих происходящие в ней явления, достигается посредством масштабного и мучительного эволюционного процесса. Нынешняя модель Вселенной – результат долгой эволюции, в которой было множество фальстартов и тупиков. Естественный отбор уничтожил математические модели, не соответствовавшие наблюдениям и экспериментам, и оставил только удачные. Согласно этой точке зрения все «теории» Вселенной на самом деле не более чем «модели», качества которых определяются исключительно тем, насколько им удается соответствовать данным наблюдений и экспериментов. Безумная модель солнечной системы Кеплера, о которой он написал в своей «Mysterium Cosmographicum», была вполне приемлемой, пока объясняла и предсказывала поведение планет.

То, как часто и с каким успехом результаты чистой математики переходят в область математики прикладной, согласно этой картине, отражает всего лишь перепроизводство концепций, из которых физика отбирает самые подходящие для своих нужд: вот оно, выживание сильнейших! Вот и Годфри Г. Харди, как подчеркивают сторонники теории человеческого изобретения, гордился, что за всю жизнь «не сделал ничего «полезного». Такое представление о математике разделяет, очевидно, и Мэрилин вос Савант, обладательница самого высокого в мире IQ – целых 228! Часто цитируют ее слова: «Я склонна думать, что можно изобрести математическое объяснение чего угодно, и материя – не исключение».

По моему скромному мнению, исчерпывающего ответа на загадку эффективности математики не дает ни модифицированная платоническая точка зрения, ни теория естественного отбора (по крайней мере, в традиционной формулировке).

Утверждать, будто математика – изобретение чисто человеческое и так замечательно объясняет явления природы исключительно благодаря эволюции и естественному отбору, значит упускать некоторые важные факты, относящиеся как к природе математики, так и к истории теоретических моделей вселенной. Во-первых, хотя математические законы – например, аксиомы геометрии или теории множеств – и в самом деле творения человеческого разума, однако, сформулировав эти законы, мы сразу же теряем свободу. Определение золотого сечения берется из аксиом Евклидовой геометрии, определение чисел Фибоначчи – из аксиом теории чисел. Однако тот факт, что отношение двух последовательных чисел Фибоначчи сходится к золотому сечению, нам некоторым образом навязан, мы, люди, здесь ничего не решаем и не обладаем свободой выбора. А следовательно, математические объекты, пусть и воображаемые, все же обладают реальными свойствами. Во-вторых, объяснение непостижимого могущества математики нельзя основывать исключительно на эволюции в узком смысле слова. Например, когда Ньютон выдвинул теорию гравитации, данные, которые он пытался истолковать, были точны в лучшем случае до третьего знака после запятой. Однако его математическая модель силы, возникающей между двумя массами во Вселенной, обладает необычайной точностью – больше одной миллионной. Получается, что эта модель не была навязана Ньютону имеющимися на тот момент измерениями движения планет, с одной стороны, а с другой – Ньютон не втискивал природное явление в уже имеющийся математический паттерн. Более того, естественный отбор в общепринятой интерпретации этой концепции здесь вообще ни при чем: дело не в том, что соревновались пять теорий и Ньютонова победила. Нет – теория Ньютона была единственной!