Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт
Книгу Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт читаем онлайн бесплатно и без регистрации! Читать онлайн вы можете не только на компьютере, но и на андроид (Android), iPhone и iPad. Наслаждайтесь!
275 0 00:13, 27-05-2019
ЧИТАТЬ КНИГУ ОФЛАЙН в приложении android
Книга Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса - Йен Стюарт читать онлайн бесплатно без регистрации
Как и число i само по себе, логарифмы комплексных чисел тут же превратились в очередную проблему. В 1702 г. Иоганн Бернулли исследовал процесс интегрирования, применив его к обратным полиномам второй степени. Он нашел изысканный способ решения этой задачи, когда у квадратного уравнения есть два действительных корня: r и s. Теперь мы можем переписать это подынтегральное выражение, используя так называемые простейшие дроби:
что приводит нас к интегралу
A ln (x – r) + B ln (x – s).
А что, если квадратное уравнение не имеет действительного корня? Как, например, проинтегрировать величину, обратную x2 + 1? Бернулли понимал, что раз уж вы занялись алгеброй комплексных чисел, трюк с простейшей дробью сработает и здесь, только в этом случае r и s будут комплексными числами. Например:
а интеграл этой функции принимает форму:
1/2 ln (x + i) + 1/2 ln (x – i).
Этот финальный шаг не совсем удовлетворителен, поскольку требует определения логарифма комплексного числа. Возможно ли сделать корректным такое утверждение?
Бернулли считал, что можно, и благодаря этой идее добился потрясающего эффекта. Той же позиции придерживался и Лейбниц. Однако математические детали всё еще требовали доработки. К 1712 г. оба ученых сошлись в споре по самой сути такого подхода. Забудем про комплексные числа, – что такое логарифм отрицательного действительного числа? Бернулли считал, что он тоже должен быть действительным, а Лейбниц утверждал, что он будет комплексным. Бернулли представил нечто вроде доказательства своей правоты: с помощью обычного вычислительного формализма уравнение
может быть проинтегрировано, получим
ln (-x) = ln (x).
Однако Лейбница это не убедило, и он по-прежнему утверждал, что интегрирование будет верно только для положительного действительного x.
Этот узконаправленный спор был разрешен в 1749 г. Эйлером, и оказалось, что Лейбниц был прав. Бернулли забыл, что любой интеграл включает произвольную константу. И вместо полученного Бернулли выражения должно быть
ln (-x) = ln (x) + c
для некой константы с. Но что это за константа? Если логарифм отрицательных (и комплексных) чисел должен иметь свойства логарифма действительных чисел, что и является целью всей игры, то верно, что
ln (-x) = ln (–1 × x) = ln (–1) + ln x,
так что c = ln (–1). Затем Эйлер привел последовательность изящных преобразований, получив еще более явную формулу для с. Прежде всего он нашел способ манипулирования различными формулами, содержащими комплексные числа, придя к выводу, что они ведут себя очень похоже на действительные, и получил соотношение между тригонометрической функцией и экспоненциальной:
eiθ = cos θ + i sin θ.
Эта формула была предложена в 1714 г. Роджером Котсом. Установив, что θ = π, Эйлер получил превосходный результат:
eiπ = –1,
связавший две основные математические константы: e и π. Вызывает восхищение как само существование этой связи, так и ее простота. Эта формула по праву считается одной из самых красивых формул всех времен.
Взяв логарифм, мы получаем:
ln (–1) = iπ,
приоткрывая тайну этой непостижимой константы с из предыдущего текста: она равна iπ. В таком случае это мнимое число, т. е. Лейбниц был прав, а Бернулли ошибался.
Но и это еще не всё: ящик Пандоры едва успел открыться. Если принять, что θ = 2π, то
e2iπ = 1.
Значит, ln (1) = 2iπ. Тогда уравнение x = x × 1 приводит к выводу:
ln x = ln x + 2 iπ.
Тогда для любого целого n
ln x = ln x + 2niπ.
На первый взгляд, бессмыслица: это означает, что 2niπ = 0 для любого n. Но есть и такой способ проинтерпретировать это выражение, что оно покажется осмысленным. В случае комплексных чисел логарифмическая функция многозначна. И действительно, кроме тех случаев, когда комплексное число z равно 0, функция ln z может принимать бесконечно много разных значений (когда z = 0, ее логарифм не определен).
ЧТО КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДАЛИ ИМ
Действительные и мнимые части комплексной функции должны удовлетворять условиям Коши – Римана, что тесно связано с применением ДУЧП для гравитации, электричества, магнетизма и некоторых видов гидродинамики на плоскости. Это условие позволяет решать многие уравнения в математической физике – но только для двумерных систем.
Магнитное поле вокруг магнитного стержня, «увидеть» которое помогают железные опилки: комплексный анализ может быть использован при расчете таких полей
Математики привыкли пользоваться функциями, которые могут иметь несколько разных значений, и квадратный корень остается самым очевидным примером: здесь даже действительное число имеет два разных корня, положительный и отрицательный. Но бесконечно много значений? Это действительно странно.
Большой переполох в этой области учинило открытие, что вы можете заниматься исчислением – комплексным анализом – с комплексными функциями, а полученная в результате теория элегантна и полезна. Настолько полезна, что само логическое обоснование данной идеи перестало волновать кого бы то ни было. Когда что-то работает и вы понимаете, что без этого не обойтись, вы обычно не особо задаетесь вопросом, почему так получилось.
Прочитали книгу? Предлагаем вам поделится своим впечатлением! Ваш отзыв будет полезен читателям, которые еще только собираются познакомиться с произведением.
Уважаемые читатели, слушатели и просто посетители нашей библиотеки! Просим Вас придерживаться определенных правил при комментировании литературных произведений.
Просьба отказаться от дискриминационных высказываний. Мы защищаем право наших читателей свободно выражать свою точку зрения. Вместе с тем мы не терпим агрессии. На сайте запрещено оставлять комментарий, который содержит унизительные высказывания или призывы к насилию по отношению к отдельным лицам или группам людей на основании их расы, этнического происхождения, вероисповедания, недееспособности, пола, возраста, статуса ветерана, касты или сексуальной ориентации. Просьба отказаться от оскорблений, угроз и запугиваний. Просьба отказаться от нецензурной лексики. Просьба вести себя максимально корректно как по отношению к авторам, так и по отношению к другим читателям и их комментариям.
Надеемся на Ваше понимание и благоразумие. С уважением, администратор сайта
Оставить комментарий
Mkot1312 июль 21:17
