Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

Декарт пришел к следующему выводу: если кривизны «целующихся» окружностей равны k_1, k_2, k_3, k₄, то соотношение между ними укладывается в формулу:

Например, если три большие окружности имеют радиус/кривизну 1, а кривизна малой окружности равна c, то из формулы (*) следует:

Решение квадратного уравнения дает

Таким образом,

Отрицательное число нам не подходит, ведь как радиус/кривизна окружности может быть меньше нуля? Таким образом, кривизна малой окружности равна примерно 6,464, а радиус – примерно 0,1547.

Четыре окружности могут «поцеловаться» иначе. Начертим снова три окружности, касающиеся друг друга, но вместо малой окружности внутри опишем большую окружность, касающуюся всех трех окружностей снаружи:

Хорошая новость: решение Декарта по-прежнему остается в силе. Фокус состоит в том, чтобы взять отрицательный корень квадратного уравнения с обратным знаком!

Например, давайте снова рассмотрим три окружности с радиусом 1. Формула (*) вновь приводит нас к двум ответам. Но теперь большая окружность имеет кривизну где-то 0,464 и радиус где-то 2,1547.

Иначе говоря, формула Декарта работает и в том случае, когда мы вычисляем радиус малой окружности внутри трех, касающихся друг друга, и в том случае, когда мы ищем радиус большой окружности, охватывающей эти три.

Если корень уравнения отрицательный, речь идет об описанной окружности; в случае положительного корня речь идет о вписанной окружности. А теперь другой вопрос: что означает нулевая кривизна? Сама формулировка подсказывает, что «окружность» с нулевой кривизной представляет собой прямую линию^[165].

Решение Декарта в 1930-е годы заново открыл Фредерик Содди^[166]. Он был настолько поражен элегантностью формулы, что сочинил стихотворение под названием «Прицельный поцелуй». Вот вторая строфа, где зарифмована формула (*):

Окружности четыреСошлись для поцелуя,Пригожая малюткаСкривилась больше всех.А если единичкуНа радиус делю я,То это будет кривизна.Невиданный успех!Евклид буквально онемел…Дружок, скорей берись за мел:Коль нулевая кривизна,То линия прямая;Коль минус перед кривизной,Целуйся, обнимая.«Сложи криви́зны, возведиВ квадрат всю эту сумму,И на два ну-ка подели!» –Кричу я тугодуму. –«Теперь все это приравняйК величине другой:Криви́зны возведи в квадрат,Сплюсуй, мой дорогой».Две суммы в точности равны,И все от радости пьяны:Целуются, милуются,Собой не налюбуются!

Есть еще один вариант поцелуя четырех окружностей. На сей раз они будут касаться друг друга попарно, выстроившись в кольцо. Иными словами, касаются первая и вторая окружности, вторая и третья, третья и четвертая, четвертая и первая. Итого мы имеем четыре точки соприкосновения.

Удивительно, но факт: эти четыре точки всегда будут лежать на другой окружности, пятой по счету.

Теорема Паскаля о шестиугольнике

Я завершу эту главу теоремой, доказанной Блезом Паскалем^[167].

Расставим на окружности шесть точек: A, B, C, D, E и F. Соединим их отрезками, чтобы возник перекрученный шестиугольник:

A → D → B → F → C → E → A.

Теорема Паскаля говорит о том, что три точки, в которых пересекаются пары отрезков DB и CE, AD и FC, BF и EA (на чертеже они отмечены буквами X, Y, Z соответственно) всегда будут лежать на одной прямой!

Отмечу, что теорема Паскаля верна и в случае шести точек, лежащих на эллипсе^[168].

Плотность гексагональной упаковки кругов

Предположим, все круги имеют радиус 1. Центры четырех соседних кругов расположены на вершинах ромба со стороной 2.

Ромб состоит из двух равносторонних треугольников. Высота равностороннего треугольника^[169] со стороной 2 равна √3. Таким образом, площадь треугольников равна

Площадь ромба вдвое больше: 2√3