Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

z² = (2 + i) × (2 + i) = (4–1) + (2 + 2) i = 3 + 4i.

• Шаг 2. Вычислим |z²|:

Вычисления на шаге 2 показывают, что числа 3, 4 и 5 представляют собой пифагорову тройку. Отрезок на комплексной плоскости, соединяющий начало координат и точку 3 + 4i, – это гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4, ее длина равна 5.

Повторим процедуру с комплексным числом z = 3 + 2i. Посчитаем z² и абсолютную величину этого числа:

Мы нашли пифагорову тройку: 5, 12, 13!

Еще один пример, и мы поймем принцип. Возьмем число z = 5 + 2i. Возведем его в квадрат и посчитаем абсолютную величину получившегося числа:

Мы нашли еще одну пифагорову тройку: 20, 21, 29.

Давайте подумаем, как это работает, вернувшись к первому примеру: z = 2 + i. Заметим: Мы возвели z в квадрат и посчитали абсолютную величину получившегося числа: Подытожим:

Таким образом, |z²| = |z|².

Всегда ли так? Разумеется, тождество выполняется для действительных чисел (например, |(–4)²| = |16 | = |–4 |²), но доказательство этого факта для комплексных чисел потребует некоторых алгебраических выкладок (проделайте их самостоятельно и сверьтесь с решением в конце главы^[156]).

Вернемся к процедуре поиска пифагоровых троек. Начнем с комплексного числа z = x + yi, где x и y – целые числа^[157]. Абсолютная величина z может не быть целым числом, но оно представляет собой квадратный корень из целого числа: Абсолютная величина z² непременно будет целым числом: |z²| = |z|² = x² + y². Найдем z²: