Математика. Считаем уверенно - Александра Соболева

Ответ: Через 72 часа никак не может быть солнечной погоды. Так как будет 12 часов ночи.

Как переправиться через реку?

Группе туристов надо было переправиться на другой берег реки. Им предложили помощь двое мальчиков, сидевших в маленькой рыболовной лодке. Но лодка была так мала, что могла выдержать или одного туриста, или двух мальчиков. Однако один из туристов сообразил, и вся группа переправилась на другой берег именно на этой лодке. Как им это удалось?

Ответ. Мальчики переехали реку. Один их них остался на другом берегу, а второй пригнал лодку туристам и вылез. В лодку сел турист и переправился на другой берег. Мальчик, оставшийся там, пригнал опять лодку туристам, взял первого мальчика, отвез на другой берег и снова доставил лодку туристам, после чего вылез, в нее сел второй турист… И так далее, пока все туристы не переправились через реку.

Два поезда

Скорый поезд вышел из Парижа в Лондон и шел без остановок со скоростью 70 километров в час. Навстречу ему из Лондона шел также без остановок поезд со скоростью 50 километров в час. На каком расстоянии будут эти поезда за один час до встречи?

Ответ. Где бы оба поезда ни встретились, за один час до их встречи они будут друг от друга на расстоянии 120 км (50+70).

Исправьте ошибку

Возьмите 12 спичек и выложите из них следующее «равенство»:

VI–IV=IX

Равенство, как вы видите, неверно, так как получается, что 6–4=9. Переложите одну спичу так, чтобы получилось правильное равенство.

Ответ.

Первое решение:

VI+IV=X

Второе решение:

V+IV=IX

Из трех – четыре

На столе лежат 3 спички. Сделайте из трех – четыре. Ломать спички нельзя.

Ответ:

III=3; IV=4

Сколько их?

У мальчика столько же сестер, сколько братьев, а у его сестры вдвое меньше сестер, чем братьев. Сколько в семье братьев и сестер?

Ответ: 4 брата и три сестры.

Лестница

В доме 6 этажей. Скажите, во сколько раз путь по лестнице на шестой этаж длиннее, чем путь по той же лестнице на третий этаж, если пролеты имеют по одинаковому числу ступенек?

Ответ: в 2,5 раза.

Математические фокусы

Математические фокусы интересны тем, что, усвоив только содержание, можно с неизменным успехом демонстрировать их своим ученикам. В процессе демонстрации дети младшего школьного возраста будут дополнительно повторять в уме математические действия. Более старшим детям можно предложить вывести «доказательства» фокуса самостоятельно, в виде домашнего задания. Но самое основное в нем – это то, что ребенок всегда хочет «разоблачить» механизмы фокуса, что можно сделать совместно как арифметическим, так и алгебраическим путем. Ребята очень любят фокусы, и, если в конце каждого игрового занятий вы будете показывать новый фокус, который, мы надеемся, вы сумеете остроумно обыграть, у ребенка появится дополнительная мотивация к занятию.

Ну что же – крэц, пэц, огурэц?

Фокус 1. Задумайте число. Отнимите 1. Остаток умножьте на 2. Скажите результат, и я отгадаю задуманное число.

Способ угадывания. Прибавьте к результату 2, а сумму разделите на 3. Частное – задуманное число.

Пример. Задумано 18; 18-1=17; 17x2=34; 34+18=52. Угадываем 52+2=54; 54:3=18.

Доказательство. Задуманное число обозначим буквой х. Выполняем требуемые действия: х-1, 2(х-1), 2(х-1) = х.

Результат: 2х-2+х=3х-2.

Прибавляя 2, получаем 3х, а разделив на 3, получаем задуманное число х.

Фокус 2. Предложите ребенку задумать какое-либо число. Затем заставьте его несколько раз поочередно умножать и делить это число на различные, произвольно назначаемые вами числа. Результат действий пусть вам не сообщает.

После нескольких умножений и делений предложите ребенку разделить полученный результат на то число, которое он задумал, затем прибавить к последнему частному задуманное число и сказать вам результат. По этому результату вы отгадываете задуманное число.

Способ угадывания. Вам надо также задумать произвольное число (например, 1) и проделывать все те же действия, которые вы предлагаете ребенку. Тогда в частном у вас получится то же самое число, что и у задумавшего. После этого угадывающему надо вычесть из сообщенного результата свой результат. Разность и будет искомым числом.

Пример. Задумано число 7. Умножено на 12. Результат (84) разделен на 2. Полученное число (42) умножено на 5. Результат (210) разделен на 3. Получилось 70, а после деления на задуманное число и прибавления задуманного числа – 17.

Одновременно вы «про себя» задумали число 1. Умножаете на 12, получается 12. Делите на 2, получается 6. Умножаете на 5, получается 30, делите на 3, получаете 10. Вычитаете 17–10, получаете искомое число 7.

После того, как вы «докажете» фокус на буквах, обозначив задуманное ребенком число, например буквой А, а задуманное вами число – буквой Б, станет абсолютно ясным, что матрица действительна для любого задуманного числа.

Фокус 3. Напишите на листочке бумаги какое-либо число от 1 до 50 и спрячьте.

Пусть каждый участник фокуса напишет любое число больше 50, но меньше 100 и, не показывая вам, произведет с ним следующие действия:

• прибавит к своему числу 99-х, где х – число, написанное вами на листочке бумаги (эту разность вы в уме подсчитайте и назовите участникам конкурса только готовый результат);

• зачеркнет в получившейся сумме крайнюю левую цифру и эту же цифру прибавит к оставшемуся числу;

• получившееся число вычтет из числа, первоначально им написанного.

В результате у всех участников получится одно и то же число, которое было вами предварительно спрятано.

Пример. Число, написанное и спрятанное вами, – 18. Число, написанное одним из участников, – 64. Предлагаете прибавить к нему 99–18=81. Получается 64+81=145.

Цифра 1 зачеркивается и прибавляется к оставшемуся числу: 45+1=46. Разность между задуманным числом (64) и полученным (46) как раз и дает спрятанное вами число 18.

Доказательство. Обозначим буквой х число, написанное вами, буквой у – число, написанное участником фокуса. Первое действие, выполненное участником, приводит к числу у+99-х, так как, условно, х – не более 50, а у – в пределах от 51 до 100, то у+99-х не меньше 100 и не больше 199, то есть непременно трехзначное число, цифра сотен которого 1. Зачеркнуть в таком числе 1 – это значит, уменьшить его на 100, поэтому 2 действие, выполненное участником, приводит к числу у+99-х-100+1=у-х. Последнее действие у-(у-х)=х приводит к числу х, что и требовалось доказать.