Математика для гиков - Рафаель Роузен

Математика не занимается лишь свойствами чисел. Некоторые области математики также пытаются изучить человеческое поведение, особенно то, как люди взаимодействуют друг с другом. Одной из таких областей является теория игр.

Теория игр была впервые представлена Джоном Форбсом Нэшем-младшим, математиком из Принстонского университета, который стал главным героем книги «Прекрасный ум. Жизнь математического гения и нобелевского лауреата Джона Нэша», по которой был снят фильм, вышедший в 2001 году с Расселом Кроу в главной роли. Игры, которые изучают теоретики игр, включают в себя не только шахматы и шашки. Они включают в себя разного рода взаимодействия между людьми, в которых решения, принимаемые одним человеком, зависят от решений, принимаемых другим человеком, включая деловые решения, войны и всякого рода экономические воздействия. Поэтому теория игр включает в себя не только чистые факты и правила, но и психическое состояние игроков, а также то, что каждый игрок думает об этих психических состояниях.

Один центральный элемент теории игр был назван в честь самого Нэша. Он называется равновесием Нэша, этот термин описывает игру, в которой каждый игрок не должен менять свою стратегию, даже если он знает стратегии всех остальных игроков. Другими словами, игра находится в равновесии Нэша, если никто не будет иметь преимуществ и не будет менять стратегии.

Вы, возможно, уже знакомы с примером равновесия Нэша: дилеммой заключенного. В этом случае два человека обвиняются в преступлении, и им грозит, предположим, три года тюрьмы. Но прокурор подозревает, что двое заключенных являются сообщниками, и предлагает каждому из них сделку. (Заключенные не могут никаким образом общаться друг с другом, поэтому они не знают, какое решение примет другой человек.) Если заключенный А признает, что заключенный Б – его сообщник, а заключенный Б не признает, то заключенный А получит один год тюрьмы – смягченный приговор, а заключенный Б получит пять лет тюрьмы. Верным будет и обратное: если заключенный Б признает, что заключенный А – его сообщник, а заключенный А не признает, то заключенный Б получит один год тюрьмы, а заключенный А получит пять лет тюрьмы. Если они оба сознаются, тогда оба получат по два года. Если посмотреть на общую картину, то кажется, что им обоим лучше во всем признаться. Но если каждый из них будет искать лучший выход, не зная, что решит другой, они оба решат ничего не говорить и получить по три года тюрьмы – первоначальный приговор, – хотя они и могли получить смягченный приговор, если бы признались во всем. Оказывается, случай, когда оба заключенных не признаются, соответствует равновесию Нэша, а остальное не соответствует.

Теория игр

Теория игр проникает во все уголки нашей жизни, даже в те, которые, кажется, не связаны с играми и принятием решений. Одним примером является недавнее решение авиакомпании Southwest Airlines позволить людям за дополнительную плату сесть в самолет раньше, чтобы у них точно было свободное место на багажных полках над головой для их сумок. Перед каждым пассажиром стоял одинаковый выбор, так что, решая, заплатить ли лишние деньги, каждый пассажир должен был помнить, что остальные тоже могли это сделать. (Оказывается, что дополнительная плата является наилучшим выбором.)