Институты и путь к современной экономике. Уроки средневековой торговли - Авнер Грейф

b) Предположим, что равновесие со взаимным сдерживанием (λ^k, Т) существует для каждого Т и потенциальных инвестиций в военную силу ψ^k,d (T), является строго положительным для k = i, j (без потери общности). Тогда, если оптимальное для клана количество привилегий не равно нулю, его чистый средний выигрыш максимизируется при равновесии со взаимным сдерживанием (λ^k, Т *) таком, что T * < τ и λ^k ∂I(T *)/∂(T) = ∂ψ^—k,d (T *)/∂T —λ^k ∂R(T *)/ ∂T.

Доказательство. При равновесии со взаимным сдерживанием (λ^k, Т) оптимальные для клана k инвестиции таковы, что ограничение по стимулу в условии VIII.1 ICC^-k является обязательным на самой большой осуществимой инвестиции для клана – k, т. е. λ^—k[I(T) + R(T)]. Это локальное обязательное ограничение имплицитно определяет ψ^—k как функцию от Т, т. е. ψ^—k,d (T). Наиболее выгодное для клана k равновесие со взаимным сдерживанием (Т) – это равновесие, которое максимизирует его доход за период при равновесии со взаимным сдерживанием, т. е. H(T) = λ^k[I(T) + R(T)] – ψ ^—k,d (T). Условием первого порядка для максимизации является:

Оцениваемое при Т = τ, это условие первого порядка выполняется тогда и только тогда, когда

Равновесное вложение в военную силу ψ^k,*(τ) возрастает в Т, если ∂V^-k,c/∂T > ∂V^-k,d /∂T. По теореме об огибающей

Сходным образом

Отсюда ∂V^—k,c/∂T > ∂V^—k,d/∂T тогда и только тогда, когда

Оцениваемая при Т = т правая сторона этого неравенства равна нулю, а левая сторона строго положительна. Таким образом, равновесная инвестиция в военную силу возрастает в Т = τ, т. е. ∂ψ^k,d(τ/∂T > 0, подразумевая, что ожидаемая кланами полезность не максимизируется при эффективном количестве привилегий.

Что касается второго утверждения, ожидаемая кланом к полезность максимизируется при равновесии со взаимным сдерживанием, в котором

Что и требовалось доказать.

Из этой теоремы следует, что неэффективное равновесие со взаимным сдерживанием с большей вероятностью будет существовать, если внешняя угроза слабее. В частности, ожидаемая ценность положения контролирующего клана возрастает с ослаблением внешней угрозы. Это предполагает более широкий диапазон параметров, на котором эффективное равновесие со взаимным сдерживанием характеризуется положительными инвестициями в военную силу, что равноценно наличию положительного числа сторонников (напомним, что инвестиции в военную силу приравнены к вербовке сторонников.)

Формально в пределе, когда θ → 0 (и следовательно s(∙) → 1 и ω(∙) → 1 для ψ^k = 0), c(1 —δ) →0 и R(T) → 0 равновесное число сторонников должно быть положительным если для k = i или j, ∃ ψ^k ≤λ^k [I(T) + R(T)] таково что s^k,w (ψ^k, 0) > λ^k, т. е. существует реальное число сторонников, которые делают вероятность победы клана k, s^k,w (∙) выше, чем его доля прибылей λ^k, когда у другого клана нет сторонников.

Теорема VIII.2

Предположим, что для ∀T ∈ [0, τ] существует равновесие со взаимным сдерживанием (λk, T) с положительным равновесным инвестированием в военную силу. Для обоих кланов количество оптимальных привилегий Т*(θ) является неубывающим в θ.

Доказательство. Любое сокращение в V^k,c () ослабляет ограничения взаимного сдерживания и делает большее количество привилегий оптимальным для обоих кланов. Поскольку θ влияет только на V^k,c (), для доказательства теоремы достаточно показать, что ожидаемая полезность для контролирующего клана убывает в θ. Ожидаемая полезность для контролирующего клана представляет собой функцию ценности для задачи OP, определенной выше. Чтобы увидеть, что она убывает в θ, определим g(∙) = I(T) – ψ – cω(∙)(> 0) и вспомним, что ∂s(∙/∂θ< 0 и ∂ω∙/∂θ> 0. Из этих соотношений и теореме об огибающей следует, что

Что и требовалось доказать.

ПРИЛОЖЕНИЕ VIII.2 СУЩЕСТВОВАНИЕ РАВНОВЕСИЯ СО ВЗАИМНЫМ СДЕРЖИВАНИЕМ

Каковы условия, при которых равновесие со взаимным сдерживанием не существует? Из условия VIII.1 следует, что такое равновесие (λ^k, Т) не существует, если один клан считает выгодным вступать в конфронтацию, когда другой клан инвестирует все свои ресурсы в укрепление своей военной силы. Иначе говоря, если для k = i или j, ∃ ψ^k ≤ λ ^k [I(T) + R(T)] такое, что ψ^-k=λ^-k [I(T)+R(T)], δV ^k,d(λ ^k, T, ψ^k,d)<δV ^k,w(ψ ^k,ψ^-k)V ^k,c(T, θ) – (c + ψ ^k -ψ^k,d))(1-δ).