Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Следствия такой позиции очень серьезны. Теперь на алгебру циклов влияет топология пространства. Группа циклов по модулю границ является полезным топологическим инвариантом — гомологической группой поверхности. На первый взгляд этот инвариант зависит от того, какой вариант триангуляции выберет муравей, но если говорить об эйлеровой характеристике, то различные варианты триангуляции одной и той же поверхности приводят к одной и той же гомологической группе. Таким образом, муравей придумал алгебраический инвариант, при помощи которого можно различать поверхности. Искать его — довольно трудоемкое занятие, но хорошие инварианты невозможно получить без труда. Данный инвариант настолько эффективен, что с его помощью можно отличить не только сферу от тора, но тор с двумя отверстиями от тора с пятью отверстиями или с любым другим их количеством.

Гомология может показаться слишком сложной, но именно она положила начало целой серии топологических инвариантов. Кроме того, она основана на простых геометрических идеях: петлях, границах, объединении наборов, арифметических действиях с маркерами. Учитывая, что бедный муравей заперт на своей поверхности, просто поразительно, что он может узнать кое-что о своей вселенной при помощи разделения поверхности на треугольные кусочки, составления карты и некоторых алгебраических операций.

Можно естественным образом распространить гомологию на высшие измерения. Трехмерный аналог треугольника — тетраэдр; у него четыре вершины, шесть ребер, четыре треугольные грани и одна трехмерная «грань», его внутренность. В более общем случае в n измерениях можно определить n-мерный тетраэдр, или симплекс, с n + 1 вершинами, попарно соединенными всеми возможными ребрами. Они, в свою очередь, образуют треугольники, которые собираются в тетраэдры и т. д. Теперь несложно определить циклы, границы и гомологию и опять же можно состряпать группу путем добавления (гомологических классов) циклов. Фактически мы получаем целую серию групп: одну для нульмерных циклов (точек), одну для одномерных циклов (отрезков), одну для двумерных циклов (треугольников) и т. д. до полной размерности пространства. Это нулевая, первая, вторая и т. д. гомологические группы пространства. Грубо говоря, они уточняют представление об отверстиях различных размерностей в пространстве: существуют ли они, сколько их и как они соотносятся друг с другом?

Это и есть гомология, и этого нам почти достаточно для понимания того, что говорит гипотеза Ходжа. Однако что нам на самом деле нужно, так это близкая к ней концепция когомологии. В 1893 г. Пуанкаре обратил внимание на любопытное совпадение в гомологии любого многообразия: список гомологических групп с начала и с конца читается одинаково. Для многообразия размерности 5, скажем, нулевая гомологическая группа совпадает с пятой, первая — с четвертой, а вторая — с третьей. Он понял, что это не может быть простым совпадением, и объяснил его двойственностью триангуляции, с которой мы уже встречались в главе 4 в связи с картами. Это второй вариант триангуляции, где каждый треугольник заменяется вершиной, каждая сторона, общая для двух треугольников, — ребром, соединяющим две вершины, а каждая точка — треугольником, как на рис. 9 в главе 4. Обратите внимание на то, что измерения появляются здесь в обратном порядке: двумерные треугольники превращаются в нульмерные точки, и наоборот; одномерные ребра остаются одномерными, потому что 1 находится в середине.

Оказывается, полезно различать два списка, хотя инварианты они выдают одни и те же. Когда все это обобщается и облекается в формальные термины, триангуляция исчезает, и дуальная триангуляция тоже теряет смысл. Остаются только две серии топологических инвариантов, именуемых гомологическими и когомологическими группами. Вообще, каждое понятие в гомологии имеет двойника, название которого обычно образуется от названия понятия путем добавления приставки «ко-». Таким образом, вместо циклов мы получаем коциклы, а вместо заявления о том, что два цикла гомологичны, говорим, что два коцикла когомологичны. Классы, о которых идет речь в гипотезе Ходжа, — это классы когомологий, которые представляют собой наборы когомологичных коциклов.

Гомология и когомология не сообщают нам всего, что мы хотели бы знать о форме топологического пространства, — различные пространства могут обладать идентичными гомологией и когомологией, — но дают немало полезной информации, а также обеспечивают системные рамки для его расчета и использования.

Алгебраическое многообразие — будь оно действительным или комплексным, проективным или нет — представляет собой топологическое пространство. Поэтому оно имеет форму. Чтобы выяснить об этой форме что-нибудь полезное, мы рассматриваем многообразие как топологи и вычисляем его гомологическую и когомологическую группы. Но естественными ингредиентами алгебраической геометрии являются не геометрические объекты вроде триангуляционных сеток и циклов, а вещи, которые проще всего описываются алгебраическими уравнениями. Вернитесь немного назад и взгляните еще раз на уравнение поверхности Куммера. Как это соотносится с триангуляцией? В формуле нет ничего, что указывало бы на треугольники.

Может быть, нам нужно начать сначала. Вместо треугольников нам следовало бы использовать естественный строительный материал для многообразий — подмногообразия, определенные дополнительными ограничивающими уравнениями. Теперь нам придется переопределять циклы: вместо набора треугольников с целыми ярлыками мы воспользуемся набором подмногообразий с такими ярлыками, которые лучше всего подойдут в данном случае. По различным причинам — по большей части потому, что, если использовать целые ярлыки, гипотеза Ходжа неверна, — разумным выбором будут рациональные числа. Вопрос Ходжа сводится к следующему: содержит ли новое определение гомологии и когомологии всю ту же информацию, что и топологическое определение? Если гипотеза верна, то алгебраический цикл — не менее острый инструмент топологии, чем когомологический резец. Если она неверна, то алгебраический цикл — всего лишь твердый тупой предмет.

Вот только… прошу прощения, я немного переборщил. Гипотеза утверждает, что достаточно воспользоваться определенным типом алгебраического цикла — того, что обитает в классе Ходжа. Чтобы объяснить это, нам потребуется еще один ингредиент в уже и без того густой смеси: анализ. Одной из важнейших концепций анализа является дифференциальное уравнение, которое представляет собой условие, наложенное на скорости изменения переменных (см. главу 8). Почти вся математическая физика XVIII, XIX и XX вв. моделирует реальность при помощи дифференциальных уравнений. По существу, это верно даже для XXI в. В 1930-е гг. эта идея привела Ходжа к целой группе новых методик. Сегодня все это называется теорией Ходжа. Она естественным образом связана с множеством других мощных методов в объединенной области анализа и топологии.

Идея Ходжа заключалась в том, чтобы использовать дифференциальное уравнение для распределения классов когомологий по типам. Каждый из них обладает дополнительной структурой, которую можно успешно применять при решении топологических задач. Определяются они при помощи дифференциального уравнения, появившегося впервые в конце XVIII в. в работе Пьера-Симона де Лапласа и известного, соответственно, как уравнение Лапласа. Основные работы Лапласа были посвящены небесной механике, движению и форме планет и их спутников, комет и звезд. В 1783 г. он работал над определением точной формы Земли. К тому времени уже было известно, что Земля — не сфера, что она сплющена у полюсов и представляет собой приплюснутый сфероид — как если сесть сверху на пляжный мяч. Но даже такое описание не отражает деталей. Лаплас нашел способ рассчитать форму Земли с любой заданной точностью на основании физической величины, представляющей гравитационное поле планеты: это не само поле, но его гравитационный потенциал. Это мера энергии, содержащейся в гравитационном поле, численная величина, определяемая в каждой точке пространства. Тяготение действует в том направлении, в котором потенциал уменьшается с максимальной скоростью, а абсолютное значение силы соответствует скорости уменьшения.