Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Одной из самых разрекламированных в последние годы стала попытка Луи де Бранжа, предпринятая в 2002 г. Он распространил среди математиков рукопись, в которой попытался доказать гипотезу Римана при помощи области анализа, имеющей дело с преобразованиями на пространствах бесконечной размерности и известной как функциональный анализ. У специалистов были основания принять попытку де Бранжа всерьез. Незадолго до того он так же распространил доказательство гипотезы Бибербаха о разложении в ряд комплексных функций. В первоначальном доказательстве обнаружились ошибки, но со временем было установлено, что основная его идея работает. Однако в данном случае казалось, что предложенный де Бранжем метод доказательства гипотезы Римана не имеет шансов на успех. Брайан Конри и Ли Сяньцзинь указали на некоторые непреодолимые, как пока представляется, препятствия.

Возможно, самая серьезная надежда на доказательство гипотезы Римана заключается в новых методах или радикально новых подходах к задаче. Как мы неоднократно видели, прорывы в работе по великим математическим задачам происходят, как правило, тогда, когда кому-нибудь удается связать давно известную задачу с совершенно другой, далекой от нее областью математики. Прекрасный пример — Великая теорема Ферма: как только ее удалось интерпретировать как вопрос об эллиптических кривых, прогресс не заставил себя ждать.

Сегодня тактика де Бранжа вызывает вопросы, но сам его подход стратегически вполне оправдан. Своими корнями он уходит в устное предположение, сделанное около 1912 г. Давидом Гильбертом и независимо от него Дьердем Пойа. Эдмунд Ландау тогда спросил у Пойа, по каким таким физическим причинам должна быть верна гипотеза Римана. В 1982 г. Пойа вспоминал, что нашел-таки тогда ответ: нули дзета-функции следует связать с собственными значениями так называемого самосопряженного оператора. Речь идет о характеристических числах, связанных с особым типом преобразования. В квантовой физике — одной из важнейших областей применения — эти числа определяют энергетические уровни системы, и существует стандартная несложная теорема о том, что собственные числа этого особого типа преобразования всегда действительны. Если бы собственные числа некоего самосопряженного оператора совпадали с нулями кси-функции, то гипотеза Римана была бы несложным следствием этого факта. Пойа не стал публиковать эту идею — он не мог привести пример такого оператора, а пока примера нет — все это журавль в небе. Но в 1950 г. Сельберг доказал свою «формулу следа», которая связывает геометрию поверхности с собственными числами соответствующего оператора. Это сделало идею чуть более правдоподобной.

В 1972 г. Хью Монтгомери побывал в Институте перспективных исследований в Принстоне. В разговоре с физиком Фрименом Дайсоном он упомянул замеченные им некоторое время назад удивительные статистические свойства нетривиальных нулей дзета-функции. Дайсон сразу же отметил их сходство со статистическими свойствами случайных эрмитовых матриц — еще одного частного случая оператора, который используется для описания квантовых систем, таких как атомное ядро. В 1999 г. Ален Конн предложил формулу следа, аналогичную формуле Сельберга. Подтвердить ее — означало бы доказать обобщенную гипотезу Римана. В том же 1999 г. физики Майкл Берри и Йон Китинг предположили, что требуемый оператор может быть получен при квантовании одного хорошо известного понятия из классической физики, имеющего отношение к импульсу. Получившуюся в результате гипотезу Берри можно рассматривать как частную версию гипотезы Гильберта — Пойа.

Эти идеи, помогающие соотнести гипотезу Римана с глубинными областями математической физики, очень интересны. Они показывают, что решение может прийти из, казалось бы, никак не связанных с ней областей математики, и внушают надежду на то, что когда-нибудь вопрос с гипотезой Римана будет закрыт. Однако до сих пор они не привели к окончательному прорыву, и у нас нет оснований считать, что решение уже близко. Гипотеза Римана остается одной из самых запутанных и волнующих загадок во всей математике.

Сегодня у исследователей появился новый стимул к борьбе за доказательство гипотезы Римана: крупный приз.

В математике не существует Нобелевской премии. Самой престижной наградой в этой области является Филдсовская премия за выдающиеся открытия, вместе с которой вручается медаль. Эта премия названа в честь канадского математика Джона Филдса, который и завещал на нее средства. Раз в четыре года на Международном конгрессе математиков двум, трем или четырем молодым ученым не старше 40 лет вручают золотую медаль и денежную премию (в настоящее время это $15 000).

Многие представители математической науки считают правильным, что в их области не присуждается Нобелевская премия. В настоящее время она составляет чуть больше миллиона долларов, а такая сумма легко может исказить цели исследователей и породить споры о приоритетах. Однако отсутствие крупной математической премии также может исказить представления общества о значимости и полезности этой науки. Можно подумать, что открытия, за которые никто не хочет платить, не так уж важны. Возможно, поэтому не так давно появились две очень престижные новые математические премии. Одна из них — Абелевская — присуждается ежегодно Норвежской академией науки и словесности и названа в честь великого норвежского математика Нильса Хенрика Абеля. Вторая награда — это премии за решение семи «проблем тысячелетия», объявленные Математическим институтом Клэя. Этот институт основали в 1998 г. в Кембридже (штат Массачусетс) американский бизнесмен Лэндон Клэй и его жена Лавиния. Лэндон Клэй активно занимается паевыми инвестиционными фондами и при этом любит и уважает математику. Его организация проводит встречи, выделяет гранты на исследования, организует публичные лекции и присуждает ежегодную премию за математические исследования.

В 2000 г. сэр Майкл Атья и Джон Тейт, ведущие математики Великобритании и США, объявили, что Математический институт Клэя учредил новую премию, которая должна будет стимулировать работу над семью важнейшими нерешенными задачами математики. Эти задачи будут известны как «проблемы тысячелетия», а надлежащим образом опубликованное и отреферированное решение любой из них будет вознаграждено денежной суммой в $1 млн. Все вместе эти задачи призваны привлечь внимание к некоторым центральным для математики вопросам, до сих пор не имеющим ответов. Вопросы эти были тщательно отобраны лучшими математиками мира. Немалый приз должен ясно показать обществу: математика имеет огромную ценность. Всякий, кто имеет отношение к науке, прекрасно знает, что интеллектуальная ценность вполне может быть выше любых денег, но все же деньги помогают сосредоточиться. Самой известной и давней из задач тысячелетия является гипотеза Римана. Это единственный вопрос, который вошел одновременно и в список Гильберта (1900), и в список задач тысячелетия. Остальные шесть проблем тысячелетия обсуждаются далее в главах 10–15. Тем не менее математики не особенно гонятся за призами, и работа над гипотезой Римана продолжалась бы и без обещанной премии. Все, что для этого нужно, — новая перспективная идея.

Стоит также помнить о том, что гипотезы, даже освященные временем, иногда оказываются ошибочными. Сегодня большинство математиков, судя по всему, считает, что когда-нибудь гипотеза Римана будет доказана. Некоторые, однако, думают, что она, возможно, все-таки неверна, и где-то в дебрях очень больших чисел может скрываться нуль дзета-функции, который не лежит на критической линии. Если такой «контрпример» существует, то он, скорее всего, окажется очень-очень большим.