Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

В главе 1 я писал, что доказательство чем-то напоминает сражение. В военном деле четко различаются тактика и стратегия. Тактика — это искусство выигрывать локальные сражения, а стратегия определяет общую структуру кампании. Тактика определяет передвижение каждой войсковой части; стратегия формирует обширные планы, в рамках которых на каждой стадии возможны самые разные тактические решения. Статья Кейли не блистала тактическими находками, но содержала легчайший намек на стратегию, которая по прошествии времени позволила расколоть этот орешек и решить задачу о четырех красках. Кейли заметил, что добавление областей последовательно, по одной, ничего не дает, если следовать очевидному ходу рассуждений. Но, может быть, если найти другой, менее очевидный ход, из этого что-нибудь получится.

Предположим, мы возьмем произвольную карту и уберем оттуда одну область — сольем ее с соседней или сожмем в точку. Предположим также, что получившуюся карту можно раскрасить в четыре цвета, и мы так и сделаем. А теперь вернем удаленную область на место. Если нам повезет, ее соседи окажутся раскрашенными только в три цвета. Тогда нам останется всего лишь закрасить восстановленную область четвертым — свободным — цветом. Кейли указал, что эта процедура может и не сработать, поскольку соседи нашей области могут оказаться раскрашенными в четыре разных цвета. Но это не означает, что все плохо. Такое препятствие можно обойти двумя способами: сделать вывод либо о том, что мы выбрали не ту область, либо о том, что мы неверно раскрасили уменьшенную карту.

Действуя на основании ничем не подтвержденных предположений (это очень эффективный способ формирования рабочих идей, хотя в какой-то момент их все равно придется обосновать), считаем, что подобные препятствия всегда устранимы. Тогда получается, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета, если известно, что некую меньшую карту можно так раскрасить. Может показаться, что такой вывод ничего нам не дает: как мы узнаем, что какую-то меньшую карту можно раскрасить нужным образом? Ответ в том, что эту же процедуру можно применить к меньшей карте, а затем к еще меньшей карте… и т. д. В конце концов, мы доберемся до карты настолько маленькой, что в ней будет всего четыре области, и это гарантирует, что ее можно раскрасить в четыре цвета. Теперь пройдем тот же путь в обратном направлении, на каждом шагу раскрашивая карту чуть побольше, чем в прошлый раз, и, в конце концов, доберемся до первоначальной карты.

Подобные рассуждения называют «доказательством по индукции». Это стандартный метод доказательства наиболее формализованных формулировок, и логику, на которой он основан, можно сделать строгой. Предложенная Кейли стратегия доказательства становится более понятной, если переформулировать ее с использованием логически эквивалентной концепции минимального контрпримера. В данном контексте контрпримером можно считать любую гипотетическую карту, которую невозможно раскрасить в четыре краски. Такая карта будет минимальной, если любую меньшую карту (т. е. карту с меньшим числом областей) можно раскрасить нужным образом. Если хотя бы один контрпример существует, то должен существовать и минимальный контрпример: чтобы его найти, нужно просто взять контрпример с минимальным возможным числом областей. Поэтому если минимального контрпримера не существует, то контрпримеров не существует вообще. А если их нет, то теорема о четырех красках верна.

Доказательство по индукции сводится примерно к следующему. Предположим, мы можем доказать, что минимальный контрпример всегда можно раскрасить в четыре краски, если можно раскрасить так некую связанную с ним меньшую карту. Тогда минимальный контрпример не может считаться собственно контрпримером. Поскольку эта карта минимальна, все меньшие карты можно раскрасить в четыре краски, поэтому, исходя из утверждения, которое, согласно принятому нами предположению, может быть доказано, то же верно в отношении первоначальной карты. Следовательно, минимального контрпримера не существует, а значит, не существует контрпримеров вообще. Эта идея сдвигает фокус проблемы, позволяя рассматривать не все карты сразу, а только гипотетические минимальные контрпримеры, и определяет процедуру редукции — способ последовательно вывести четырехкрасочность первоначальной карты из четырехкрасочности некой соответствующей меньшей карты.

Но зачем возиться с минимальными контрпримерами, не лучше ли поискать обычные? Это вопрос методики. Хотя первоначально мы не знаем, существуют ли контрпримеры, одно из парадоксальных, но очень полезных свойств этой стратегии заключается в том, что мы можем многое сказать о том, как должны выглядеть именно минимальные контрпримеры, если они существуют.

Для этого необходима способность рассуждать логически о гипотетических вещах — жизненно важное умение для любого математика. Чтобы дать вам почувствовать характер процесса, я докажу теорему о шести красках. Для этого мы позаимствуем прием из загадки о пяти принцах и переформулируем все в терминах двойственной сети, в которой области становятся точками. В этом случае задача о четырех красках эквивалентна другому вопросу: если на плоскости задана сеть, линии которой не пересекаются, можно ли раскрасить в четыре цвета точки так, чтобы две точки, соединенные линией, всегда были разного цвета? Точно так же можно переформулировать задачу с любым количеством красок.

Чтобы проиллюстрировать мощь метода минимальных контрпримеров, я докажу с их помощью, что любую плоскую сеть можно раскрасить в шесть цветов. Здесь главным нашим инструментом вновь станет формула Эйлера. Для точки плоской двойственной сети соседними точками назовем те, что соединены с ней линиями. У каждой точки может быть и множество соседей, и всего несколько. Можно показать, что, в соответствии с формулой Эйлера, у некоторых точек должно быть мало соседей. Точнее говоря, в плоской сети все точки не могут иметь по шесть и больше соседей. Доказательство этого момента я поместил в примечание, чтобы не прерывать ход мысли^{18}. Этот факт дает нам рычаг, необходимый для того, чтобы разбить задачу на более мелкие подзадачи. Рассмотрим гипотетический минимальный контрпример для теоремы о шести красках. Это сеть, которую невозможно раскрасить в шесть разных цветов, притом что любую меньшую сеть так раскрасить можно. А теперь я доказываю, что такая карта не может существовать. Согласно приведенному выше следствию из формулы Эйлера, в ней должна быть хотя бы одна точка, у которой пять или меньше соседей. Временно уберем эту точку и линии, соединяющие ее с соседями. В получившейся сети меньше точек, поэтому, исходя из минимальности контрпримера, ее можно раскрасить в шесть цветов. (Этот шаг, кстати говоря, мы не сможем сделать, если наш контрпример будет не минимальным.) А теперь вернем удаленную точку и ее линии на место. Эта точка имеет не более пяти соседей, так что шестой цвет для нее всегда найдется. Покрасим ее — и получим успешно раскрашенный в шесть цветов минимальный контрпример; но тогда получается, что это никакой не контрпример. Значит, минимальных контрпримеров для теоремы о шести красках не существует, а значит, теорема верна.