Путеводитель для влюблённых в математику - Эдвард Шейнерман

a_nxⁿ + a_n–1xⁿ^–1 + … + a₂x² + a₁x + a₀ = 0

(где любое a_k представляло бы собой целое число), куда можно было бы подставить π вместо x, чтобы все сошлось. Это и означает, что число π трансцендентное.

Взаимно простые числа

Странным образом число π встречается в областях математики, не имеющих ничего общего ни с кругами в частности, ни с геометрией в целом. Например, число π мистически входит в формулу Стирлинга для вычисления приблизительного значения факториалов (см. главу 10). А сейчас мы узнаем, как наше заветное число связано с важным свойством очередного вида целых чисел – взаимно простых.

Два положительных целых числа называют взаимно простыми, если их единственный общий делитель равен 1 (при этом по отдельности они могут быть и составными).

Например, присмотримся к числам 15 и 28. У них следующие делители:

Таким образом, 15 и 28 взаимно простые.

С другой стороны, числа 21 и 35 не взаимно простые, потому что оба делятся на 7.

Сыграем в кости? Какова вероятность того, что очки, выпавшие на обоих кубиках, будут взаимно простыми?

С равной вероятностью любой из них может выпасть гранью с цифрой 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Каким бы ни был результат на первому кубике, второй выпадет по-своему независимо от него. Там тоже 6 вариантов. Всего это дает 36 комбинаций:

Все эти варианты равновероятны. С помощью таблицы мы можем вычислить, скажем, вероятность того, что сумма чисел на гранях двух кубиков будет равна 7. Это произойдет в шести случаях: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2) и (6, 1). Таким образом, вероятность такого события равна

Вернемся к нашему вопросу: какова вероятность того, что два числа, выпавшие на разных кубиках, – взаимно простые? Давайте нарисуем новую таблицу и поставим звездочку везде, где пары чисел взаимно простые, например 5 и 2 или 2 и 5, но не 4 и 6.

Мы видим, что нам подходит 23 варианта. Таким образом, вероятность равна

Теперь поиграем в двадцатигранные кости^[66]! Какова вероятность того, что они выпадут гранями со взаимно простыми числами? Нам придется построить таблицу побольше! В ней будет 20 строк, 20 столбцов и 400 клеток.

Если мы педантично пересчитаем все звездочки, то придем к выводу, что вероятность составляет

Поговорим про общий случай. Какова вероятность того, что два произвольных числа от 1 до N – взаимно простые? Здесь нам уже понадобится компьютер. Рассмотрим все комбинации – (1, 1), (1, 2), (1, 3) и т. д. до (N, N) – и посчитаем, как много пар взаимно простых чисел нам повстречается. Всего придется перебрать N² вариантов^[67]. У нас получатся такие результаты:

Чем дальше мы уходим в бесконечность, тем ближе вероятность к 0,6079. И откуда же взялось это число? Чудесным образом предел нашего ряда оказался равен:

Число π встречается не только в геометрии, оно вращается в разнообразных кругах!