Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Одним из первых могущество машин в качестве шортката к вычислениям осознал великий математик XVII века Готфрид Лейбниц: «Недостойно превосходных мужей тратить часы на рабский труд вычислений, который без опаски можно было бы поручить любому другому, если бы использовались машины».

Идея машины, которую Лейбниц в конце концов построил, возникла у него при знакомстве с шагомером. «Когда я увидел прибор, с помощью которого можно подсчитывать шаги, не думая об этом, мне немедленно пришло в голову, что и все арифметические операции могут быть выполнены посредством подобного рода устройства».

Шагомер был основан на чрезвычайно простой идее: когда шестерня с десятью зубьями проходит полный оборот, она поворачивает на одно деление другую, соединенную с ней шестерню, которая отсчитывает десятки шагов. Позиционная система счисления на основе шестеренок. Вычислительная машина Лейбница, которую он назвал «пошаговым арифмометром», умела складывать, умножать и даже делить. Но физическое воплощение его идей оказалось делом трудным. «Если бы только мастер мог исполнить прибор так же, как я задумал его модель», – писал он.

Он привез деревянный прототип своей машины в Лондон, чтобы показать его членам Королевского общества^[26]. Роберт Гук, уже прославившийся своей придирчивостью, был совершенно не в восторге. Разобрав машину на части, он заявил, что мог бы создать гораздо более простое и рациональное устройство. Лейбница это не остановило; в конце концов он сумел нанять искусного часовщика, который и построил машину, способную открыть вычислительный шорткат, обещанный Лейбницем.

У Лейбница была и идея еще более грандиозная. Он хотел механизировать не только арифметику, но и все мышление вообще. Он хотел свести философские рассуждения к математическому языку, который можно было бы внедрить в машину. Ему представлялось время, когда два философа, не согласные по поводу какой-нибудь идеи, смогут просто обратиться к машине, которая разберется в их разногласиях и установит, кто из них прав.

Когда я был в Ганновере, в котором жил Лейбниц, мне посчастливилось увидеть одну из его машин. Это великолепная вещь, и нам очень повезло, что она у нас есть. В течение нескольких лет оригинал машины валялся на чердаке в Геттингене – университетском городе, в котором учился и работал Гаусс. Машину вновь обнаружили только в 1879 году, когда рабочие, пытавшиеся починить протекавшую крышу здания, наткнулись на нее в углу чердака.

Машина Лейбница положила начало процессу, который впоследствии привел нас к нынешним калькуляторам и компьютерам. Но это не означает, что возможности компьютеров безграничны. В наше время мы склонны считать, что компьютеры настолько хорошо умеют выполнять быстрые вычисления, что могут сделать практически что угодно. В 1984 году журнал Time утверждал: «Стоит ввести в компьютер правильную программу, и он сделает все, что вам захочется». Но у компьютеров есть ограничения. Даже им иногда требуется программист-человек, способный придумать хитроумный шорткат, чтобы избежать вычислений, выполнение которых на компьютере займет все время существования Вселенной.

Один из самых интересных шорткатов, которые используют компьютеры, связан с применением чисел нового типа, которые, казалось бы, не имеют ничего общего с миром практических вычислений, – мнимых чисел.