Математическое мышление - Джо Боулер

Речь о вопросах, которые стимулируют развитие математики. Решение задач и постановка новых — основа этой науки. Если математику представить в отрыве от жизни, она действительно покажется мертвой.

Научные исследования (Silver, 1994) показали: когда ученикам дают возможность сформулировать математическую задачу, проанализировать ситуацию и придумать вопрос к ней (в этом и состоит суть истинной математики), это повышает их вовлеченность и успеваемость. Но это редкость. Помните, в известном фильме 2001 года «Игры разума» Джон Нэш (которого играет Рассел Кроу) изо всех сил пытается найти интересный вопрос? Это и есть крайне важный первый этап математической работы. На школьных уроках математики у учеников нет возможности выполнить это важное действие; они тратят время на вопросы, которые кажутся им не имеющими отношения к жизни и которых они не ставили.

В своей книге «При чем тут математика?» я описываю подход к организации урока математики, основанный на постановке вопросов (Boaler, 2015a). Преподаватель Ник Фиори создавал для учеников математические ситуации с участием таких предметов, как сосновые шишки, игральные карты, цветные бусины, кости, различные детали, и предлагал сформулировать свои вопросы. Поначалу ученикам было трудно выполнять это задание, но постепенно они заинтересовались и научились использовать свои идеи, проводить математические изыскания и осваивать новые методы.

Много лет школьная дисциплина теряла связь с наукой, которую используют ученые, и с математической жизнью. Ученики тратили тысячи часов на изучение процедур и правил, которые им никогда не пригодятся. Конрад Вольфрам — директор Wolfram-Alpha, одной из важнейших математических компаний во всем мире — резко критикует традиционный подход к преподаванию математики и категорически заявляет, что суть ее не сводится к вычислениям. В своем выступлении на конференции TED^[10], которое посмотрели более миллиона людей, Вольфрам предложил, чтобы занятия математикой состояли из четырех этапов.

1. Постановка вопроса.

2. Переход от реального мира к математической модели.

3. Выполнение вычислений.

4. Возврат от модели к реальному миру, чтобы определить, получен ли ответ на исходный вопрос.

Первый этап подразумевает постановку продуманного вопроса по поводу определенных данных или ситуации. Это первое математическое действие, которое необходимо выполнить на рабочем месте. В США самая востребованная профессия — аналитик, или специалист по обработке больших данных, имеющихся в распоряжении каждой компании, и постановке важных вопросов по поводу этих данных. Второй этап, о котором говорит Вольфрам, — создание модели, позволяющей найти ответ на поставленный вопрос; третий — вычисления, а четвертый — возврат от модели к реальному миру, чтобы определить, точен ли ответ. Вольфрам отмечает, что 80% времени на уроках математики в школе тратится на третий этап (вычисления вручную). При этом способность работников делать вычисления не нужна работодателям: это могут делать калькуляторы или компьютеры. Вольфрам предлагает, чтобы вместо третьего этапа школьники уделяли больше времени этапам 1, 2 и 4.

Вольфрам утверждает, что в наше время работодателям необходимы люди, которые умеют задавать верные вопросы, разрабатывать модели, анализировать результаты и интерпретировать ответы, а не быстро выполнять вычисления, как раньше.

В список Fortune 500 входят 500 крупнейших компаний США. Когда в 1970 году руководителей этих компаний спросили, какие качества новых сотрудников представляют для них самую большую ценность, ответы выглядели так (табл. 3.1).

Таблица 3.1. Самые ценные качества сотрудников компаний из списка Fortune 500, по состоянию на 1970 год

Навыки вычислений занимали второе место в списке. В 1999 году список выглядел так, как показано в таблице 3.2.

Таблица 3.2. Самые ценные качества сотрудников компаний из списка Fortune 500, по состоянию на 1999 год

Навыки вычислений опустились на предпоследнее место в списке, а первые места заняли умение работать в команде и навыки решения задач.

Часто родители не видят нужды в строгости, которая составляет суть математики. Многие спрашивали меня: зачем ребенку объяснять свою работу, если он может получить верное решение? Мой ответ неизменен: объяснение называется в математике рассуждением, а рассуждение — обязательное условие математической строгости. Специалисты по естественным наукам доказывают или опровергают теории путем поиска реальных ситуаций, в которых эти теории работают или не работают. Математики доказывают теории в рамках обоснования. Им необходимо привести аргументы, которые убедят других, тщательно выстраивая цепочку рассуждений от одной идеи к другой с помощью логических связей. Математика — сугубо социальная наука, поскольку доказательство возникает только тогда, когда математики могут убедить коллег в наличии логических связей.

Многие работы по математике — плод совместного труда. Леоне Бертон изучала работу математиков и пришла к выводу, что более половины их публикаций подготовлены в соавторстве (Burton, 1999). Но на многих уроках математики ученики в полной тишине заполняют листы с заданиями. В то время как очень важно обсуждать задачи в группах или всем классом. Это самый эффективный инструмент осмысления материала (ученики редко усваивают идеи, не обсудив их); оно делает предмет интереснее и вовлекает детей в процесс обучения. Кроме того, во время обсуждения школьники учатся рассуждать логически и критиковать мнения друг друга, а оба этих качества очень востребованы в современных компаниях. В мире высоких технологий почти все новые профессии подразумевают работу с большими объемами данных, постановку вопросов и поиск способов достижения целей на основе логических рассуждений. Конрад Вольфрам сказал мне, что любой, кто не способен делать математические умозаключения, не сможет эффективно выполнять свои обязанности на рабочем месте. Когда сотрудники рассуждают и обсуждают математические способы решения проблем, их коллеги могут сформулировать новые идеи на основе этих способов, а также определить, нет ли здесь ошибки. Командная работа, которую так высоко ценят работодатели, основана на математическом рассуждении. Люди, которые просто выдают результаты вычислений, не приносят пользы; они должны уметь обосновывать полученные результаты.